我正在尝试对素数场上的椭圆曲线的一组已发送点（kB，Pm + k.Pb）进行解密。但是，我得到了错误的结果。我的猜测是点减法有问题。有人可以帮忙吗？
我遵循了Darrel Hankerson，Alfred Menezes和Scott Vanstone所著的“椭圆曲线密码学指南”中所述的实现ECC的所有程序。根据这些，我已经编写了代码并测试了add（）和sclr_mult（）函数似乎运行良好。但是，我似乎无法正确解密消息。我的怀疑是我在点减法部分的某个地方搞砸了。该程序仅是概念证明，而不是实际实现，因此我将a，b和p的值取为小数。我目前并不真正关心流程的优化，尽管我一开始就对其进行研究。我已经将点（0,0）作为原点，并修改了add（）。我非常感谢您为这项工作提供的帮助以及其他建议。 请随时询问完整的代码。我可以邮寄给您进一步检查。谢谢。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
//Information about the curve and finite field
int a=4;//coefficient for elliptic curve
int b=20;//coefficient for elliptic curve
int p=29;//prime number to provide finite field
int points[1000][2];//to store a set of points satisfying the curve
//Information required for Encryption and Decryption
//Private Information
int PrivKey=11;//Private Key of Receiver
//Public Information
int PubKey[2]={0,0};//Public key of Receiver
int random=11;//Random Number required for Encoding
int Pbase[2]={0,0};//Base point for all operations
//Encrypted Point
int Enc[4]={0,0,0,0};
//Functions Used
int * sclr_mult(int k,int point[2]);
int * add(int A[2],int B[2]);
int inverse(int num);
int * encode(int m,int Pb[2],int random,int Pbase[2]);//(Message,Public Key)
int * genKey(int X,int P[2]);//(Private Key,Base Point)
int decode(int Enc[4],int PrivKey);//(Encrypted Message, Private key of the Receiver) Outputs Message
void generate();
int main()
{
int *temp;
generate();
Pbase[0]=points[5][0];//Deciding the base point here
Pbase[1]=points[5][1];
temp=genKey(PrivKey,Pbase);
PubKey[0]=*temp;
PubKey[1]=*(temp+1);
printf("\nThe Public Key is (%d,%d)\n",PubKey[0],PubKey[1]);
int message[2];
message[0]=points[5][0];
message[1]=points[5][1];
printf("The message point is (%d,%d)\n",message[0],message[1]);
int P[2];
temp=sclr_mult(random,Pbase);
P[0]=*temp;
P[1]=*(temp+1);
int Q[2];
temp=sclr_mult(random,PubKey);
Q[0]=*temp;
Q[1]=*(temp+1);
int R[2];
temp=add(message,Q);
R[0]=*temp;
R[1]=*(temp+1);
printf("The encrypted point is [(%d,%d),(%d,%d)]\n",P[0],P[1],R[0],R[1]);
temp=sclr_mult(PrivKey,P);
int O[2];
O[0]=*temp;
O[1]=p-*(temp+1);
temp=add(R,O);
O[0]=*temp;
O[1]=*(temp+1);
printf("The message point is (%d,%d)\n",O[0],O[1]);
return 0;
}
int * sclr_mult(int k,int P[2])//using LSB first algorithm
{
int *temp,i;
int *Q = calloc(2,sizeof(int));
Q[0]=0;
Q[1]=0;
for(i=31;i>=0;i--)
{
if((k>>i)&1)
break;
}
for(int j=0;j<=i;j++)
{
if((k>>j)&1)
{
temp=add(Q,P);
Q[0]=*temp;
Q[1]=*(temp+1);
}
temp=add(P,P);
P[0]=*temp;
P[1]=*(temp+1);
}
return Q;
}
int * add(int A[2],int B[2])
{
int *C = calloc(2,sizeof(int));
int x=0;
if (A[0]==0 || A[1]==0)
{
return B;
}
if (B[0]==0 || B[1]==0)
{
return A;
}
if (A[1]==(p-B[1]))
{
return C;
}
if ((A[0]==B[0]) && (A[1]==B[1]))
{
x=((3*(A[0]*A[0]))+a)*inverse(2*A[1]);
C[0]=((x*x)-(2*A[0]))%p;
C[1]=((x*(A[0]-C[0]))-A[1])%p;
//C[0]=((A[0]*A[0])%p+(b*inverse(A[0]*A[0]))%p)%p;//For Binary Curves
//C[1]=((A[0]*A[0])%p+((A[0]+(A[1]*inverse(A[0]))*C[0]))%p+(C[0])%p)%p;//For Binary Curves
}
else
{
x=(B[1]-A[1])*inverse(B[0]-A[0]);
C[0]=((x*x)-(A[0]+B[0]))%p;
C[1]=((x*(A[0]-C[0]))-A[1])%p;
//C[0]=((((A[1]+B[1])*inverse(A[0]+B[0]))*((A[1]+B[1])*inverse(A[0]+B[0])))%p + ((A[1]+B[1])*inverse(A[0]+B[0]))%p + A[0]%p + B[0]%p + a%p)%p;//For Binary Curves
//C[1]=((((A[1]+B[1])*inverse(A[0]+B[0]))*(A[0]+C[0]))+C[0]+A[1])%p;//For Binary Curves
}
if (C[0]<0)
C[0]=p+C[0];
if (C[1]<0)
C[1]=p+C[1];
return C;
}
int inverse(int num)
{
int i=1;
if (num<0)
num=p+num;
for (i=1;i<p;i++)
{
if(((num*i)%p)==1)
break;
}
//printf("inverse=%d,%d",i,num);
return i;
}
void generate()
{
int rhs,lhs,i=0;//to find set of points that satisfy the elliptic curve
for(int x=0;x<p;x++)
{
rhs=((x*x*x)+(a*x)+b)%p;
for(int y=0;y<p;y++)
{
lhs=(y*y)%p;
if (lhs==rhs)
{
points[i][0]=x;
points[i][1]=y;
i+=1;
}
}
}
printf("\nNumber of points found on the curve is %d \n",i);
for(int k=0;k<i;k++)
{
printf("%d(%d,%d)\n",(k),points[k][0],points[k][1]);
}
}
int * genKey(int X,int P[2])
{
int *temp;
int *Q = calloc(2,sizeof(int));
temp=sclr_mult(X,P);
Q[0]=*temp;
Q[1]=*(temp+1);
return Q;
}
我没有收到错误。但是，我没有得到预期的结果。
答案 0 :(得分：0)
sclr_mult方法通常会更改第二个参数。在当前示例中，Pbase包含
temp = genKey(PrivKey, Pbase); // calls sclr_mult
值(2,23)，然后输入
temp = sclr_mult(random, Pbase);
值(8,19)。由于Pbase是椭圆曲线上的参考点，因此这是错误结果的原因。解决方案可以是传递Pbase的副本，也可以相应地修改sclr_mult。进行此更改后，当前示例将起作用：
The public key is (16,27)
The message point is (2,23)
The shared secret (random * PubKey) is (6,17)
The encrypted point is [(16,27),(16,27)]
The shared secret (PrivKey * P) is (6,17)
The inverse of the shared secret is (6,12)
The decrypted message point is (2,23)
以下几点也是有问题的，但不会在 current 示例中引起错误：
add方法返回A = (0,0)情况，B != (0,0)返回结果B，这意味着(0,0)表示PAI（无穷大点，请参见{ {3}}，第17-19页）。 (0,0)不是最佳选择，因为也有曲线（b = 0）
以(0,0)作为常规点的那些。但是，对于当前曲线（b = 7，(0,0)不是规则点，因此可以将其定义为PAI。
注意：如果将(0,0)以外的其他点用作PAI（例如(p,p)），则必须在sclr_mult中初始化Q，并且该点代表PAI！
add方法必须考虑以下三种情况（here，第20页）：
PAI + PAI = PAI
A + PAI = A
PAI + B = B
此外，必须考虑垂直割线（here）和切线（point addition）的两种情况（point doubling，第3页）：
(B[0] - A[0]) % p == 0 vertical secant
A[1] % p == 0 vertical tangent
add方法可以进行如下修改以考虑这些情况：
int * add(int A[2], int B[2])
{
int *C = (int *)calloc(2, sizeof(int));
int x = 0;
if (isPAI(A) && isPAI(B)) // PAI + PAI = PAI
{
return getPAI(C);
}
else if (isPAI(A)) // PAI + B = B
{
return B;
}
else if (isPAI(B)) // A + PAI = A
{
return A;
}
else if ((A[0] == B[0]) && (A[1] == B[1]))
{
// Point doubling
if (A[1] % p == 0) // Vertical tangent
{
return getPAI(C);
}
// as in current code
// ...
}
else
{
// Point addition
if ((B[0] - A[0]) % p == 0) // Vertical secant
{
return getPAI(C);
}
// as in current code
// ...
}
// as in current code
// ...
}
使用
bool isPAI(int *point)
{
return point[0] == 0 && point[1] == 0;
}
int* getPAI(int *point)
{
point[0] = 0;
point[1] = 0;
return point;
}
示例：a = 1, b = 7, p = 17，（here）
点：
(1,3), (1,14), (2,0), (5,1), (5,16), (6,5), (6,12), (7,0), (8,0), (12,8), (12,9)
当前add方法的结果：
(1,3) + (1,3) = (6,5)
(6,5) + (1,3) = (2,0)
(2,0) + (1,3) = (1,3)
...
修改后的add方法的结果：
(1,3) + (1,3) = (6,5)
(6,5) + (1,3) = (2,0)
(2,0) + (1,3) = (6,12)
(6,12)+ (1,3) = (1,14)
(1,14)+ (1,3) = (0,0) // PAI
(0,0) + (1,3) = (1,3)
...