如何确定联赛表是否可以接受？

Question

让我们考虑一个由 n 支球队组成的联盟，其中每支球队对阵所有其他球队两次，结果是三种可能的结果：赢，输或平。一场胜利需要2分，平局1分，亏损0分。我们想确定一个联赛表是否可以接受。

我正在尝试实现多项式时间算法来解决此问题。我曾考虑过使用网络流技术（如Kleinberg＆Tardos的“算法设计”的第7章中所述），但没有提出任何具体的建议。

理想的解决方案应该是这样

    IsAdmissible
    Input: Final league table
    {
         ...
    }
    Output: TRUE if there's a combination of matches resulting in given table
            FALSE otherwise

Answer 1

网络流量是解决方案。

尝试以下网络：

在一侧，为每一对构造一个顶点。 另一方面，对于每个团队。

s 对球队的权重根据输入表而定，两对到 t 的权重为4（两场比赛）。

Answer 2

快速的初步检查：所有团队的分数总和必须满足：

• 20 * 19 * 2≤和≤20 * 19 * 3

每支球队出战38场比赛，每场比赛可以得分0、1或3分。 每个团队的总分s必须满足：

• d + 3 * w = s，其中d和w是非负整数（d-平局次数，w-获胜次数）
• d + w≤38

很容易找到每个团队的所有有效（d，w）。

如果每个团队都有有效的（d，w），则该表是可接受的，例如：

• 对于任意2支球队，总和（w）≤38 + 36
  对于任何3组，总和（w）≤38 + 36 + 34
  对于任何n支球队，总和（w）≤38 + 36 + ... +（40-2n）

  （按得分递减的顺序对球队进行排序；对每个n进行一次检查就足够了）

• 总和= 4560-2 *总和
• 总和（w）=总和-1520

上面的两个方程式来自以下事实：

• 总和=总和+ 3 *总和（抽奖= 1分，胜利= 3分）
• 总和（d）/ 2 +总和（w）= 20 * 19 * 2（每局以赢球或两次平局结束）

所有这些条件都是必需的。我相信（但不确定）它们已经足够。