Question

在分配理论CS的过程中，我偶然发现了布尔函数的外观问题，该函数测试n个给定的布尔变量，x1至xn，k或更少的变量是否为真。

在Java中，这将非常简单：

public boolean k_or_less_true(boolean[] x , int k) {

   int num_true = 0;
   int n = boolean.size;
   for(int i = 0; i < n-1; i++){
       if(x[i]){num_true++;}
   }

   return num_true <= k;
}

现在的问题是，通过依赖于n和k的命题演算来找到一个公式，该公式仅在给定的n中的k个或更少为真时才返回true。

举个例子，如果让k = 1，则公式对应于NAND函数：

（x1，x2）^{<= 1} = NOT（x1和x2）

（x1，x2，x3）^{<= 1} = NOT（（NOT（x1 AND x2））AND x3）
。
。

到目前为止，问题是，如果k增加，公式将如何变化...

另外一个很明显的联系是：

（x1，x2，...，xn）^{<= k} =（x1，...，xn）^{= k} OR（x1，... ，xn）^{= k-1}或...或（x1，...，xn）^{<= 1}

Answer 1

一个简单的公式如下：

f(S) = not [ OR(for T in S^(k+1)) [ AND(for t in T) t ] ]

在上面：

OR是从集合中计算出的所有项的重复逻辑或。
S ^（k + 1）是S的所有（k + 1）个子集的集合
AND是根据集合计算出的所有项的重复逻辑AND。

想法是这样的：

只有并且只有当不是至少k + 1为真时才是k或更少。当且仅当正好k + 1的某个子集全部为真时，至少k + 1才为真。

给定n个布尔变量，如何仅通过命题演算来检查k个或更少的k是否成立？

1 个答案: