什么是偏序？

Question

我正在阅读Bartosz Milewski的程序员的类别理论，但我没有想到partial order。

我没有得到以下句子的上下文：

  

您还可以建立更牢固的关系，从而满足其他   条件是，如果a <= b并且b <= a，则a必须与b相同。   这就是部分订单。

为什么a必须与b相同？例如a = 4和b = 5，所以根本不一样。如果他会提起

  

....如果a = b和b = a ....

那是的，我同意。

第二部分，我也不明白：

  

最后，您可以施加以下条件：任意两个对象都位于   彼此联系，一种或另一种方式；那给你一个   线性订单或总订单。

他是什么意思？

Answer 1

  

如果 a <= b ...

所以a = 4和b = 5满足第一个不等式

  

和 b <= a

但它们不满足第二个不等式。因此，您的反例无效。

让我们忘记<=，因为我怀疑它在欺骗您考虑整数或您熟悉的其他数字集。因此，我们将使用一些任意关系来重新编写它，例如¤

  

如果 a¤b为真

     

和 b¤a是正确的

     

和，这始终意味着a与b是相同的实体

     

然后我们将关系¤称为“偏序”（在从a，b得出的任何集合上）

作者只是说，对于某些关系，如果给定规则为真，然后，我们将该关系称为部分订单。这是作者对部分订单的定义。如果您发现规则不成立的情况-这仅表示您发现的一种关系类型不是部分订单。

无论如何，定义 partial 顺序的原因是有时我们有对象的集合，而我们无法将所有对象相互比较。

例如，一组针对不同学科的成绩：也许我可以决定一个学生的英语水平是否比另一个学生更好，并且我可以确定一个学生的音乐水平是否比另一个学生更好，但是这样做并没有意义。讨论一个学生的英语是否比另一个人的音乐更好。

最后一个引号仅表示，如果我们的关系至少为 偏序（满足给定的规则），并且 可以应用于整个集合（例如，我们仅讨论英语成绩），然后可以称其为该集合的总阶。

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PS。发生这种情况时，规则确实对于具有整数的通常<=成立：因此，我们可以将关系<=称为partial的偏序。因为还为每对整数定义了 ，所以我们也可以 在ℤ上调用<=的总阶。

PPS。是的，部分订单还需要传递性：我的回答实际上仅针对问题中引用的相当非正式的定义。您可以在Wolfram MathWorld，Wikipedia或任何地方找到更完整的定义。

Answer 2

一个正自然数与另一个正自然数的可除性是部分顺序的一个例子，它不是总顺序（如果y / x是自然数，则x将y除）。

1）如果x除以y，而y除以z，则x除以z（传递性）。

2）如果x除以y，y除以x，则x = y（反对称）。

3）x除以x（反射率）。

这是部分订单的三个属性。

但这不是总顺序，因为您可以找到两个自然数x和y，这样x不会除以y并且y不会除以x。

Answer 3

要了解区别，您需要查看整数以外的集合。考虑复数。当且仅当z1 <= z2时，复数的有效预序可以说real(z1) <= real(z2)。因此，(3, 5) <= (3, 6)和(3, 6) <= (3, 5)。但是，这不是 partial 顺序，因为(3, 5) != (3, 6)。

添加z1 <= z2也需要imag(z1) <= imag(z2)的条件，这使它成为预购商品，从现在(3, 5) <= (3, 6)开始，但反之则不然。这仍然不是 total 的顺序，因为(2, 3) <= (3, 2)和(3, 2) <=(2, 3)都不正确。

相反，只有且仅当 z1 <= z2和real(z1) <= real(z2)时，才能说abs(z1) <= abs(z2)。现在(3, 5) <= (3, 6)仍然是正确的，但是(3, 6) <= (3, 5)并不是因为sqrt(3**2 + 6**2) > sqrt(3**2 + 5**2)。但是我们可以说(2, 3) <= (3, 2)是因为2 <= 3和sqrt(13) <= sqrt(13) 。这使<=运算符成为总订单。 （更新：检查abs和arg上的词典编排顺序-将arg限制为(-pi,pi]，同时将特殊0-设为< / em>适当的总订单，留给读者练习。）

（通常，我们说复数不是 有序的，因为有几种方法可以定义总顺序，但是没有一个“自然”的顺序。）

Answer 4

考虑以下Directed Acyclic Graph：

如果我们说图中的箭头代表<=关系，那么我们可以看到a <= c和c<=d。但是b<=c也不成立，c<=b也不成立。因此，我们有一个订单，但它只是部分订单，因为它仅在域中的某些商品对中存在。

通常，DAG在其成员上定义部分顺序。即使不包括从a到e的箭头，我们仍然可以说a<=c和c<=e，所以a<=e。

请记住，我们不会将“ x <= y”解释为“通过按照图中的箭头可以从x到y得出”以外的任何含义。现在假设我们有两个字母x和y，我们知道x <= y和y <= x。如果x和y不同，并且您可以从x到y，那么您将无法从y到x。因此x和y不可能是不同的项目，因此它们必须都是同一项目。

另一方面，对所有项目对都存在总订单。例如，整数具有总阶。