作为一种更多地了解SMT解决和优化的方法，我正在尝试使用Z3解决一个具体问题。我已经成功地对问题进行了建模（它可以编译并运行），但是我想我可能做错了，因为即使在很小的情况下，解决问题也要花几秒钟，而在实际情况下要花费几分钟。我觉得我一定很想念东西。
我的问题是：
想象一下您正在组织一个烹饪工作室。有i位老师，j位学生和k位实际作业。对于每个实际作业，需要将学生分为i组，以便他们可以在老师的指导下进行作业。还有两个附加要求：
例如，如果有2位老师，6名学生和2个实验任务，您可以得到以下划分：
作业1：
作业2：
在这里，每个老师都教过每个学生。但是，这必然意味着彼此认识的学生数量很少。实际上，小组在作业1和2之间并没有变化，只有老师可以。
我编写了一个程序来生成一堆SMT-LIB语句，然后将这些语句馈入Z3。对于前面的示例，该示例有6个学生，2个老师和2个作业，我们得到以下代码（如果愿意，您也可以查看here）
定义一个辅助函数，将布尔值转换为整数：
(define-fun bool2int ((x Bool)) Int (ite x 1 0))
以s{x}_a{y}_t{z}形式声明常量，以指示学生x是否正在与老师y做作业z：
(declare-const s1_a1_t1 Bool)
(declare-const s1_a1_t2 Bool)
(declare-const s1_a2_t1 Bool)
(declare-const s1_a2_t2 Bool)
(declare-const s2_a1_t1 Bool)
(declare-const s2_a1_t2 Bool)
(declare-const s2_a2_t1 Bool)
(declare-const s2_a2_t2 Bool)
(declare-const s3_a1_t1 Bool)
(declare-const s3_a1_t2 Bool)
(declare-const s3_a2_t1 Bool)
(declare-const s3_a2_t2 Bool)
(declare-const s4_a1_t1 Bool)
(declare-const s4_a1_t2 Bool)
(declare-const s4_a2_t1 Bool)
(declare-const s4_a2_t2 Bool)
(declare-const s5_a1_t1 Bool)
(declare-const s5_a1_t2 Bool)
(declare-const s5_a2_t1 Bool)
(declare-const s5_a2_t2 Bool)
(declare-const s6_a1_t1 Bool)
(declare-const s6_a1_t2 Bool)
(declare-const s6_a2_t1 Bool)
(declare-const s6_a2_t2 Bool)
声明限制条件，以确保学生在每次作业中都应在一名老师的监督下工作：
(assert (= 1 (+ (bool2int s1_a1_t1) (bool2int s1_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s1_a2_t1) (bool2int s1_a2_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s2_a1_t1) (bool2int s2_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s2_a2_t1) (bool2int s2_a2_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s3_a1_t1) (bool2int s3_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s3_a2_t1) (bool2int s3_a2_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s4_a1_t1) (bool2int s4_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s4_a2_t1) (bool2int s4_a2_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s5_a1_t1) (bool2int s5_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s5_a2_t1) (bool2int s5_a2_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s6_a1_t1) (bool2int s6_a1_t2) )))
(assert (= 1 (+ (bool2int s6_a2_t1) (bool2int s6_a2_t2) )))
声明限制条件，以确保每位老师必须教每位学生至少一次：
(assert (or s1_a1_t1 s1_a2_t1 ))
(assert (or s2_a1_t1 s2_a2_t1 ))
(assert (or s3_a1_t1 s3_a2_t1 ))
(assert (or s4_a1_t1 s4_a2_t1 ))
(assert (or s5_a1_t1 s5_a2_t1 ))
(assert (or s6_a1_t1 s6_a2_t1 ))
(assert (or s1_a1_t2 s1_a2_t2 ))
(assert (or s2_a1_t2 s2_a2_t2 ))
(assert (or s3_a1_t2 s3_a2_t2 ))
(assert (or s4_a1_t2 s4_a2_t2 ))
(assert (or s5_a1_t2 s5_a2_t2 ))
(assert (or s6_a1_t2 s6_a2_t2 ))
声明限制条件，以确保对于每项作业，一位老师必须准确地教3名学生。我们将>=与<=结合使用，因为在某些情况下，问题允许最小和最大的学生人数（即，j % i != 0时）。
(define-fun t1_a1 () Int (+ (bool2int s1_a1_t1) (bool2int s2_a1_t1) (bool2int s3_a1_t1) (bool2int s4_a1_t1) (bool2int s5_a1_t1) (bool2int s6_a1_t1) ))
(assert (>= 3 t1_a1))
(assert (<= 3 t1_a1))
(define-fun t1_a2 () Int (+ (bool2int s1_a2_t1) (bool2int s2_a2_t1) (bool2int s3_a2_t1) (bool2int s4_a2_t1) (bool2int s5_a2_t1) (bool2int s6_a2_t1) ))
(assert (>= 3 t1_a2))
(assert (<= 3 t1_a2))
(define-fun t2_a1 () Int (+ (bool2int s1_a1_t2) (bool2int s2_a1_t2) (bool2int s3_a1_t2) (bool2int s4_a1_t2) (bool2int s5_a1_t2) (bool2int s6_a1_t2) ))
(assert (>= 3 t2_a1))
(assert (<= 3 t2_a1))
(define-fun t2_a2 () Int (+ (bool2int s1_a2_t2) (bool2int s2_a2_t2) (bool2int s3_a2_t2) (bool2int s4_a2_t2) (bool2int s5_a2_t2) (bool2int s6_a2_t2) ))
(assert (>= 3 t2_a2))
(assert (<= 3 t2_a2))
声明函数以跟踪哪些学生一起完成作业：
(define-fun s1_has_met_s2 () Bool (or (and s1_a1_t1 s2_a1_t1) (and s1_a2_t1 s2_a2_t1) (and s1_a1_t2 s2_a1_t2) (and s1_a2_t2 s2_a2_t2) ))
(define-fun s1_has_met_s3 () Bool (or (and s1_a1_t1 s3_a1_t1) (and s1_a2_t1 s3_a2_t1) (and s1_a1_t2 s3_a1_t2) (and s1_a2_t2 s3_a2_t2) ))
(define-fun s1_has_met_s4 () Bool (or (and s1_a1_t1 s4_a1_t1) (and s1_a2_t1 s4_a2_t1) (and s1_a1_t2 s4_a1_t2) (and s1_a2_t2 s4_a2_t2) ))
(define-fun s1_has_met_s5 () Bool (or (and s1_a1_t1 s5_a1_t1) (and s1_a2_t1 s5_a2_t1) (and s1_a1_t2 s5_a1_t2) (and s1_a2_t2 s5_a2_t2) ))
(define-fun s1_has_met_s6 () Bool (or (and s1_a1_t1 s6_a1_t1) (and s1_a2_t1 s6_a2_t1) (and s1_a1_t2 s6_a1_t2) (and s1_a2_t2 s6_a2_t2) ))
(define-fun s2_has_met_s3 () Bool (or (and s2_a1_t1 s3_a1_t1) (and s2_a2_t1 s3_a2_t1) (and s2_a1_t2 s3_a1_t2) (and s2_a2_t2 s3_a2_t2) ))
(define-fun s2_has_met_s4 () Bool (or (and s2_a1_t1 s4_a1_t1) (and s2_a2_t1 s4_a2_t1) (and s2_a1_t2 s4_a1_t2) (and s2_a2_t2 s4_a2_t2) ))
(define-fun s2_has_met_s5 () Bool (or (and s2_a1_t1 s5_a1_t1) (and s2_a2_t1 s5_a2_t1) (and s2_a1_t2 s5_a1_t2) (and s2_a2_t2 s5_a2_t2) ))
(define-fun s2_has_met_s6 () Bool (or (and s2_a1_t1 s6_a1_t1) (and s2_a2_t1 s6_a2_t1) (and s2_a1_t2 s6_a1_t2) (and s2_a2_t2 s6_a2_t2) ))
(define-fun s3_has_met_s4 () Bool (or (and s3_a1_t1 s4_a1_t1) (and s3_a2_t1 s4_a2_t1) (and s3_a1_t2 s4_a1_t2) (and s3_a2_t2 s4_a2_t2) ))
(define-fun s3_has_met_s5 () Bool (or (and s3_a1_t1 s5_a1_t1) (and s3_a2_t1 s5_a2_t1) (and s3_a1_t2 s5_a1_t2) (and s3_a2_t2 s5_a2_t2) ))
(define-fun s3_has_met_s6 () Bool (or (and s3_a1_t1 s6_a1_t1) (and s3_a2_t1 s6_a2_t1) (and s3_a1_t2 s6_a1_t2) (and s3_a2_t2 s6_a2_t2) ))
(define-fun s4_has_met_s5 () Bool (or (and s4_a1_t1 s5_a1_t1) (and s4_a2_t1 s5_a2_t1) (and s4_a1_t2 s5_a1_t2) (and s4_a2_t2 s5_a2_t2) ))
(define-fun s4_has_met_s6 () Bool (or (and s4_a1_t1 s6_a1_t1) (and s4_a2_t1 s6_a2_t1) (and s4_a1_t2 s6_a1_t2) (and s4_a2_t2 s6_a2_t2) ))
(define-fun s5_has_met_s6 () Bool (or (and s5_a1_t1 s6_a1_t1) (and s5_a2_t1 s6_a2_t1) (and s5_a1_t2 s6_a1_t2) (and s5_a2_t2 s6_a2_t2) ))
最大化结识的人数：
(maximize (+ (bool2int s1_has_met_s2)(bool2int s1_has_met_s3)(bool2int s1_has_met_s4)(bool2int s1_has_met_s5)(bool2int s1_has_met_s6)(bool2int s2_has_met_s3)(bool2int s2_has_met_s4)(bool2int s2_has_met_s5)(bool2int s2_has_met_s6)(bool2int s3_has_met_s4)(bool2int s3_has_met_s5)(bool2int s3_has_met_s6)(bool2int s4_has_met_s5)(bool2int s4_has_met_s6)(bool2int s5_has_met_s6)))
我遇到的主要限制是运行模型所需的时间。只是无法缩放：
我的目标是与大约20名学生，3名老师和5个作业一起运行...但是，使用当前设置，我怀疑Z3会完成计算。
This gist包含实例的SMT-LIB代码，其中包含9位学生，3位老师和3个作业。在某种程度上，如此花这么长时间并不令我感到惊讶...我想要最大化的功能确实在规模上爆炸了。
如您所见，我被困住了。据我所知，没有更简单的方法来表达此问题的约束和目标函数。在我看来，我已经达到了基本的限制。所以在这里再次提出我的问题：
答案 0 :(得分：3)
尝试避免使用bool2int。
例如，代替：
(assert (= 1 (+ (bool2int s1_a1_t1) (bool2int s1_a1_t2) )))
写：
(assert (distinct s1_a1_t1 s1_a1_t2))
对于将它们加起来最多为3的其他约束，请查看是否还可以用纯布尔推理来表示，而无需涉及算术。
这里的窍门是避免将布尔值和整数算术混合。如果可以避免后者，则z3的时间会轻松得多。
对于一般情况，即，当分配有两个以上时，应使用pbeq函数。例如，如果您有3个布尔值，并且想准确地说出其中之一为真，则应输入：
(assert ((_ pbeq 1 1 1 1) b1 b2 b3))
这使z3可以保留在SAT求解器中，而不必分支到算术推理上，通常可以使事情变得更简单。