将重复的二进制数转换为十进制

Question

我如何将0.1011111 ....或0.10（1）表示为分数a / b？ a和b为整数。

我正在尝试这种方法

x = 0.10（1） x = 10.（1）/ 4

现在y = 10.（1）

2y = 101.（1）

表示2y-y = 91 y = 91

x = 91/4 但是a = 91＆b = 4是错误的。

我该如何解决呢？

Answer 1

您需要观察数字仍然是二进制的。因此，以十进制表示，y的整数部分为2，而2y的整数部分为5，因此差值为y=3。

请注意，在二进制0.1(1)=1中，就像在十进制0.9(9)=1中一样。因此，以另一种方式，x恰好是0.11二进制，即1/2+1/4=3/4。

Answer 2

您可以按照以下步骤进行操作：

x =（0.1011111） ₂

用十进制表示上述二进制项可以给我们：

x = 1/2 ¹ + 0/2 ² + 1/2 ³ + 1/2 ⁴ + ...）
x = 1/2 + 1/2 ² *（1/2 ¹ + 1/2 ² + 1/2 ³ + ...）

如果忽略上述等式中用粗体标出的术语，则括号中的术语变为 x ，因此可以说括号中的术语等于（x + 1/2 ² ）

x = 1/2 + 1/2 ² *（x + 1/2 ² ）
x = 1/2 + x / 4 + 1/16

解决上述方程式

3x / 4 = 9/16
x = 3/4

Answer 3

这是重复模式频繁出现的情况下对该问题的概括。

假设x = 0.001100110011 ...，其中模式0011无限重复。

让a为模式（x为0011），k为长度（x为4）。

x = a×2 ^ -k + a×2 ^ -2k + ...
  = a×2 ^ -k×∑ _{i = 0} ^∞ （2 ^ -k）^ i < br />   = a×2 ^ -k×lim _n→∞（1-（2 ^ -k）^ n）/（1-2 ^ -k）
因为x是具有2 ^ k比率的几何序列的总和。

当n变为∞时，（2 ^ -k）^ n变为零，我们有了
x = a×2 ^ -k /（1-2 ^ -k）= a /（2 ^ k-1）

如果x = 0.11111 ...，a = 1，k = 1和x = 1 /（2-1）= 1，我们得到的结果已经由LutzL提出（以一种简单得多的方式！），该结果回答了原始问题。

但是我们可以使用任何重复模式来解决更复杂的问题。
例如，如果x = 0.001100110011 ...，则a = 0011 = 3且k = 4。
因此x = 3 /（2 ^ -4-1）= 1/5 = 0.2

立即重复出现其中重复模式前面有非重复序列的情况。