Question

可以使用0至2^n-1范围内的部分数字（可以全部使用）创建任意数字序列。让我们考虑所有数字都是唯一的序列。

例如，n = 4的一些顺序是：

4 2 5 7 11 3
15 1 6
6 5 8 2 3 10 12 13 4

问题：是否可以在不使用内存存储整个序列的情况下生成此类序列？

我正在考虑某种功能F，该功能仅进行位操作并使用前一个给出下一个数字。例如顺序7 3 5 9：F(7)=3，F(3)=5，F(5)=9。

如果我事先知道序列，如何构建这样的功能F？

Answer 1

不，一般而言。尽管序列S不必真正地在内存中表示出来以便我们实现生成函数F，但是任何函数F都可以有效地编码序列S，因此需要存储。

（生成函数F是这样的函数，其中F（i），其中i是序列的元素，是序列的下一个元素，或者，如果i是最后一个元素，则是指示该值的某个值。）

当然，某些序列（例如琐碎的0、1、2、3，…）可能由小的函数生成。但是，请考虑一些位数b。可以用b位编码的不同函数的数量最多为2 ^b（使用您想要的任何编码方案-源代码，机器代码，抽象数学表示等）。不同序列的数量为2 ⁿ !，因此所需的不同生成函数的数量为2 ⁿ！。

因此2 ^b≥2 ⁿ !,因此b≥log ₂（2 ⁿ！）。因此，如果我们想要有足够的内存来保存2 ⁿ的任何序列的生成函数，则至少需要log ₂（2 ⁿ！）位。

Answer 2

是的。加密是明文和密文之间的双射。每个明文输入都会产生一个唯一的密文输出，然后可以将其唯一解密为原始明文。

对于数字，最简单的方法是使用诸如DES（64位）或AES（128位）之类的分组密码。如果需要，可以使用其他块大小。

对于给定的序列，您将需要存储密码（通常与块大小一样大）以及在纯文本输入中所达到的位置。只需按顺序加密整数0、1、2、3，...。输出将是给定块大小内的一系列非重复数字。要以相同的顺序生成更多数字，请从最后使用的数字继续。对于不同的序列，请更改键，然后再次从0开始。每个键定义给定大小的可能块的排列。

对于允许重复的序列，请使用哈希函数而不是密码，对0、1、2、3等进行哈希处理。对于不同的序列，请使用XOR块作为键的等效项，并将其与输入进行XOR运算。散列之前。如果要添加到现有序列中，则需要跟踪到达的输入位置。