Question

我正在尝试使用Sympy解决四阶微分方程组。我使用的方程式显示在图片中，并用下面的代码编写：

latex_equations：

from sympy import *
x = symbols('x')
EI1,EI2,EI3,a1,a2,a3,Qh,Mecc = symbols('EI1 EI2 EI3 a1 a2 a3 Qh Mecc')
u1,u2,u3 = symbols('u1 u2 u3', cls=Function)

eq = (Eq(EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+EI3*diff(u3(x),x,x,x,x), Qh),Eq(a1*EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+a2*EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+a3*EI3*diff(u3(x),x,x,x,x),Mecc),Eq((u1(x)+u3(x))/2,u2(x)))

dsolve(eq)

我收到以下错误：

AttributeError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-1-63c42d2751be> in <module>
      6 eq = (Eq(EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+EI3*diff(u3(x),x,x,x,x), Qh),Eq(a1*EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+a2*EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+a3*EI3*diff(u3(x),x,x,x,x),Mecc),Eq((u1(x)+u3(x))/2,u2(x)))
      7 
----> 8 dsolve(eq)

~\Anaconda3\lib\site-packages\sympy\solvers\ode.py in dsolve(eq, func, hint, simplify, ics, xi, eta, x0, n, **kwargs)
    583     """
    584     if iterable(eq):
--> 585         match = classify_sysode(eq, func)
    586         eq = match['eq']
    587         order = match['order']

~\Anaconda3\lib\site-packages\sympy\solvers\ode.py in classify_sysode(eq, funcs, **kwargs)
   1528         if isinstance(func, list):
   1529             for func_elem in func:
-> 1530                 if len(func_elem.args) != 1:
   1531                     raise ValueError("dsolve() and classify_sysode() work with "
   1532                     "functions of one variable only, not %s" % func)

AttributeError: 'list' object has no attribute 'args'

我尝试使用dsolve解决一个更简单的方程组，并且很好地解决了问题：

from sympy import *
x = symbols('x')
EI1,EI2 = symbols('EI1 EI2')
u1,u2 = symbols('u1 u2', cls=Function)

eq = (Eq(EI1*diff(u1(x),x), 12*x*u1(x) + 8*u2(x)), Eq(EI2*diff(u2(x),x), 21*u1(x) + 7*x*u2(x)))

dsolve(eq)

我在这两种情况下使用的格式是相同的，但一种可以解决而一种则失败。我知道第一个方程组有一个解，因为我已经在Maple中解决了。

我在代码中犯了一个错误，还是Sympy dsolve根本无法解决这样一个复杂的方程组？在dsolve无法求解之前，方程组的复杂程度是否有限制？对于这个问题的任何帮助或见解将不胜感激。

谢谢！

Answer 1

SymPy的ODE系统代码需要大量工作，目前无法处理这种系统。

首先，第三个方程是一个代数方程（意味着这实际上是DAE而不是ODE系统），但这不是一个大问题：只需将其微分4次即可。然后，SymPy应该确实能够解决生成的系统，但不幸的是，由于尚未实现，因此无法解决。不过，您可以自己手动进行操作：

# Your code first:
from sympy import *
x = symbols('x')
EI1,EI2,EI3,a1,a2,a3,Qh,Mecc = symbols('EI1 EI2 EI3 a1 a2 a3 Qh Mecc')
u1,u2,u3 = symbols('u1 u2 u3', cls=Function)

eq = (Eq(EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+EI3*diff(u3(x),x,x,x,x), Qh),Eq(a1*EI1*diff(u1(x),x,x,x,x)+a2*EI2*diff(u2(x),x,x,x,x)+a3*EI3*diff(u3(x),x,x,x,x),Mecc),Eq((u1(x)+u3(x))/2,u2(x)))

# Differentiate eq3 4 times:
eq1, eq2, eq3 = eq
eq3 = Eq(eq3.lhs.diff(x, 4).doit(), eq3.rhs.diff(x, 4).doit())
eq = eq1, eq2, eq3

# Isolate equations for u1(x).diff(x, 4) etc
derivs = [u(x).diff(x, 4) for u in (u1, u2, u3)]
(sol,) = solve(eq, derivs, dict=True)
eq = [Eq(du, sol[du]) for du in derivs]

# Each can be solved separately:
for e in eq:
    pprint(dsolve(e))

这提供了解决方案：

                                                     4                                                                  
                        2       3                   x ⋅(EI₂⋅Mecc - EI₂⋅Qh⋅a₂ + 2⋅EI₃⋅Mecc - 2⋅EI₃⋅Qh⋅a₃)                
u₁(x) = C₁ + C₂⋅x + C₃⋅x  + C₄⋅x  + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                    24⋅(EI₁⋅EI₂⋅a₁ - EI₁⋅EI₂⋅a₂ + 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₁ - 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₃ + EI₂⋅EI₃⋅a₂ - EI₂⋅EI₃⋅a₃)
                                                      4                                                                 
                        2       3                    x ⋅(-EI₁⋅Mecc + EI₁⋅Qh⋅a₁ + EI₃⋅Mecc - EI₃⋅Qh⋅a₃)                  
u₂(x) = C₁ + C₂⋅x + C₃⋅x  + C₄⋅x  + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                    24⋅(EI₁⋅EI₂⋅a₁ - EI₁⋅EI₂⋅a₂ + 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₁ - 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₃ + EI₂⋅EI₃⋅a₂ - EI₂⋅EI₃⋅a₃)
                                                    4                                                                   
                        2       3                  x ⋅(-2⋅EI₁⋅Mecc + 2⋅EI₁⋅Qh⋅a₁ - EI₂⋅Mecc + EI₂⋅Qh⋅a₂)                
u₃(x) = C₁ + C₂⋅x + C₃⋅x  + C₄⋅x  + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                    24⋅(EI₁⋅EI₂⋅a₁ - EI₁⋅EI₂⋅a₂ + 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₁ - 2⋅EI₁⋅EI₃⋅a₃ + EI₂⋅EI₃⋅a₂ - EI₂⋅EI₃⋅a₃)

但是请注意，每个方程的积分常数应该不同，因此第一个方程中的C1与第二个方程中的C2不同。 ODE系统应具有12个不同的积分常数。实际上，尽管由于这是DAE系统，但由于三个因变量之间存在代数关系，因此应该有8个独立常数。

Sympy-溶解函数计算能力的限制？

1 个答案: