Question

我已经实现了onboard security resourses中所述的用于找到多项式逆的算法，但是这些算法暗示我要求逆的多边形的GCD且X ^ N-1为1。

对于正确的NTRU实现，我需要随机生成小的多项式并定义它们的逆是否存在，现在我没有这种功能。为了使它起作用，我尝试为NTRU开源项目实现documentation中所述的欧几里得算法。但是我发现有些事情很不一致，这使我烦恼。除法和欧几里得算法可在命名文档的第19页上找到。

因此，在除法算法中，输入为多项式a和b。指出多项式b必须为N-1级。

除法的伪代码（取自this answer）：

a)  Set r := a and q := 0
b)  Set u := (b_N)^–1 mod p
c)  While deg r >= N do
    1)    Set d := deg r(X)
    2)    Set v := u × r_d × X^(d–N)
    3)    Set r := r – v × b
    4)    Set q := q + v
d)  Return q, r

为了找到两个多项式的GCD，必须调用输入为a（某些多项式）和X ^ N-1的欧几里得算法。然后将这些输入传递给除法算法。

问题是：如果明确指出第二个参数应该是N-1阶的poly，那么如何将X ^ N-1传递到除法算法中？

忽略此问题，还有一些我不理解的地方：

除法算法中的N是什么？是NTRU参数中的N还是多项式b的度？
无论哪种方式，条件c）为何都成立？ NTRU的多项式运算次数小于N

对于更大的上下文，这是我的Euclidean和Division算法的C ++实现。给定输入a = {-1，1，1，0，-1，0，1，0，0，1，-1}，b = {-1，0，0，0，0，0，1， 0，0，0，0，-1}，p = 3并且N = 11进入除法算法内部的无限循环

using tPoly = std::deque<int>;

std::pair<tPoly, tPoly> divisionAlg(tPoly a, tPoly b, int p, int N)
{
    tPoly r = a;
    tPoly q{0};
    int b_degree = degree(b);
    int u = Helper::getInverseNumber(b[b_degree], p);

    while (degree(r) >= N)
    {
        int d = degree(r);
        tPoly v = genXDegreePoly(d-N); // X^(d-N)
        v[d-N] = u*r[d]; // coefficient of v
        r -= multiply(v, b, N);
        q += v;
    }
    return {q, r};
}

struct sEucl
{
    sEucl(int U=0, int V=0, int D=0)
        : u{U}
        , v{V}
        , d{D}
    {}

    tPoly u;
    tPoly v;
    tPoly d;
};

sEucl euclidean(tPoly a, tPoly b, int p, int N)
{
    sEucl res;
    if ((degree(b) == 0) && (b[0] == 0))
    {
        res = sEucl(1, 0);
        res.d = a;
        Helper::printPoly(res.d);
        return res;
    }

    tPoly u{1};
    tPoly d = a;
    tPoly v1{0};
    tPoly v3 = b;

    while ((0 != degree(v3)) && (0 != v3[0]))
    {
        std::pair<tPoly, tPoly> division = divisionAlg(d, v3, p, N);
        tPoly q = division.first;
        tPoly t3 = division.second;
        tPoly t1 = u;
        t1 -= PolyMath::multiply(q, v1, N);
        u = v1;
        d = v3;
        v1 = t1;
        v3 = t3;
    }
    d -= multiply(a, u, N);
    tPoly v = divide(d, b).first;

    res.u = u;
    res.v = v;
    res.d = d;
    return res;
}

此外，此清单中使用的多项式运算可以在github page

中找到

Answer 1

我不小心用了Google the answer。我真的不需要计算GCD来选择随机可逆多项式，我只需要为我的随机多边形选择合适的数量1和0（对于二进制）或-1、0和1（对于三元）。

请考虑该问题已解决。

NTRUEncrypt：使用开源标准算法中的描述无法正确找到两个多项式的GCD，无法定义是否存在poly的逆

1 个答案: