Question

我正在解决Sedgewick书中的一项任务：

用构造函数编写一个类Sample，该构造函数的数组为p [] 将值加倍作为参数，并支持以下两项操作： random（）—以概率p [i] / T（其中T是 p []中的数字之和

我认为有一个简单的解决方案：将所有边界值存储在数组中并找到比随机样本低的第一个值，例如，我们有（值，权重）对：（1，10.0），（2， 20.0），（3、10.0），（4、10.0）。我们将其转换为（1、0.0），（2、10.0），（3、30.0），（4、40），对随机值[0-50]（例如35）进行采样，发现其> 30，因此答案为' 3'。

但是在书中有一个建议：

使用完整的二叉树，其中每个节点的隐含权重为p [i]。在每个节点中存储其节点中所有节点的累计权重子树。要生成随机索引，请选择0之间的随机数和T并使用累积权重来确定要探索的子树。

我在github上看到了这个解决方案：https://github.com/reneargento/algorithms-sedgewick-wayne/blob/master/src/chapter2/section4/Exercise35_Sampling.java

但是我不明白它为什么起作用：我们不会代表范围，而是会有一些树，这些树将具有（3，10），（4，10）之类的节点，如何搜索随机样本中的“最近”节点帮助找到正确的节点？

Answer 1

您的想法是正确的，但还不完全正确。您想做inverse transform sampling。您正在考虑的逐步函数是给定离散分布的逆累积密度函数（cdf）。更传统的做法是在间隔[0..1）上在X轴上写入搜索值。权重分别为1、2、3和4的权重分别为1 / 5、2 / 5、1 / 5、1 / 5。您想要将间隔分为该大小的片段，并将这些间隔映射到各自的值： / p>

[0   .. 1/5) ->  1   // Note interval widths are 1/5,2/5,1/5,1/5 as desired.
[1/5 .. 3/5) ->  2
[3/5 .. 4/5) ->  3
[4/5 ..   1) ->  4

正如您所说，将间隔的顶部及其值存储在数组中就足够了。在C中，

struct IntervalTop {
  double r;
  int value;
} cdf[] = {{.2, 1}, {.6, 2}, {.8, 3}, {1.0, 4}};

现在在[0..1）中生成一个随机值，并查找相应的子间隔以确定该值。例如，在第一个间隔中为0.1，因此返回1。在第三个间隔中，返回0.7，因此返回3。对于启动器来说，简单的线性搜索就可以了：

double r = ... // Compute random double 0.0 <= r < 1.0 .
for (int i = 0; ; ++i)
  if (cdf[i].r > r) 
     return cdf[i].value;

但是，搜索时间随着间隔的数量而增加。

提高性能的一种简单方法是用二进制搜索替换循环。然后搜索时间随着间隔数的对数增长。

但是Sedgewick希望您能更努力地工作，大概是出于学习目的。

他的建议还具有运行时间O（log（n）），但更为复杂。他说的是使用完整的二进制搜索树。每个节点都包含以该节点为根的子树中的值，权重（w）以及所有权重（t）的总和。所以对于这个问题，...

                  ____3(w=1/5,t=1)____
                 /                     \
        2(w=2/5,t=3/5)           4 (w=1/5,t=1/5)
        /
1(w=1/5,t=1/5)

实际上，您不需要算法的权重（这就是S表示它们“隐式”的原因），但是在此处包括它们可以使您更轻松地了解正在发生的事情。

您将如上所述在[0..1）中生成一个随机数r，但是在这里，您将使用r的值作为参考来搜索树。

您将通过查看tree.t，tree.left.t和tree.right.t（缺少的子代等于.t值为零）来执行此操作，并使用这些值做出相同的决定二进制搜索将具有的内容。

我会在这里停留，以免破坏您的乐趣。

来自离散概率分布算法的采样

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