了解产品和副产品图

Question

我试图理解与以下图片相对应的Product和Coproduct：

产品：

副产品：

据我了解，Haskell中的Product类型例如：

data Pair = P Int Double

，Sum类型为：

data Pair = I Int | D Double 

如何理解与Sum和Product类型有关的图像？

图像来自http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/。

Answer 1

产品（在Haskell中为Tuple）是具有两个投影的对象。这些是将产品投影到其各自的因素fst和snd的功能。

相反，副产品（在Haskell中为Either）是具有两个 injections 的对象。这些是将<{>}和lefts的各个求和数注入的函数。

请注意，产品和副产品都需要满足通用属性。我推荐Bartosz Milewski的introduction和他的lecture。

Answer 2

据我所知，这些图表背后的想法是给您：

• 类型A，B和Z
• 所指示类型的功能f和g（在第一张图中，f :: Z -> A和g :: Z -> B，在第二张图中，箭头为“另一种方式”，因此f :: A -> Z和g :: B -> Z）。

我现在将集中在第一个图表上，这样我就不必在稍有变化的情况下重复两次。

无论如何，鉴于上述情况，我们的想法是存在一个类型M以及函数fst :: M -> A，snd :: M -> B和h :: Z -> M，就像数学家所说的那样，图表“通勤”。这仅表示在给定图中的任何两个点的情况下，如果您以任何方式遵循箭头的指示，则得到的功能是相同的。也就是说，f与fst . h相同，g与snd . h

相同

很容易看出，无论Z是什么，对类型(A, B)以及通常的Haskell函数fst和snd都满足这一要求-以及h的适当选择，即：

h z = (f z, g z)

简单地满足了要转换图的两个必需身份。

这是该图的基本说明。但是您可能会对Z在所有这方面的角色感到有些困惑。之所以会出现这种情况，是因为实际上所说的要强大得多。就是说，给定A，B，f和g，存在M以及函数fst和{{1} }，您可以为 any 类型的snd构造这样的图（这也意味着要提供功能Z）。而且，只有一个函数h :: Z -> M可以满足所需的属性。

很明显，一旦您使用它并理解了各种要求，对h和其他各种同构类型（基本上意味着(A, B)是您定义{{ 1}}）是唯一满足此要求的事物。还有其他类型的MyPair A B也可以使用，但是会给出各种不同的data MyPair a b = MyPair a b-例如。将M设为三元组h，并提取M和(A, B, Int)（在数学术语中为“投影到”）第一和第二成分，然后提取{{1} }就是您要命名的任何fst的功能。

自从我学习数学（尤其是类别理论）以来，已经太久了，无法证明snd对是满足我们所讨论的“通用属性”的唯一类型-但是要休息一下可以肯定的是，您真的不需要了解（或实际上没有任何一项）就可以在Haskell中使用乘积和求和类型进行编程。

第二张图大致相同，但所有箭头都相反。在这种情况下，h z = (f z, g z, x)和x :: Int的“副产品”或“和” (A, B)变成M（或等价的东西），而{{1} }将定义为：

A

Answer 3

这些图未传达的一件事是哪些是输入，哪些是输出。我将从产品开始，要特别注意将交给您的东西，以及您必须烹饪的东西。

一个产品说：

1. 您给我两个对象A和B。
2. 我给你一个新的对象M，两个箭头fst：M-> A和snd：M-> B。
3. 您给我一个对象Z和两个箭头f：Z-> A和g：Z-> B。
4. 我给您一个箭头h：Z-> M，使该图变通（...并且该箭头由到目前为止所做的选择唯一确定）。

我们经常假装有一个Hask类别，其中的对象是具体的（单态）类型，而箭头是适当类型的Haskell函数。让我们看看上面的协议如何发挥作用，并证明Haskell的data Pair a b = P a b是Hask中的产品。

1. 您给我两个对象（类型），A = {a和B = b。

2. 我必须产生一个对象（类型）和两个箭头（函数）。我选择M = {Pair a b。然后，我必须编写类型为Pair a b -> a（对于箭头fst：M-> A）和Pair a b -> b（对于箭头snd：M-> B）的函数。我选择：

   fst :: Pair a b -> a
   fst (P a b) = a
   
   snd :: Pair a b -> b
   snd (P a b) = b
   

3. 您给我一个对象（类型）Z = {z和两个箭头（函数）； f的类型为z -> a，g的类型为z -> b。

4. 我必须产生类型为h的函数z -> Pair a b。我选择：

   h = \z -> P (f z) (g z)
   

   此h是使图上下班所必需的。这意味着从图中开始并在同一对象处结束的任何两条路径应相等。对于给定的图，这意味着我们必须证明它满足两个方程式：

   f = fst . h
   g = snd . h
   

   我将证明第一个；第二个相似。

   fst . h
   = { definition of h }
   fst . (\z -> P (f z) (g z))
   = { definition of (.) }
   \v -> fst ((\z -> P (f z) (g z)) v)
   = { beta reduction }
   \v -> fst (P (f v) (g v))
   = { definition of fst }
   \v -> f v
   = { eta reduction }
   f
   

   根据需要。

联产品的故事相似，但对以下所述的协议进行了细微调整：

1. 您给我两个对象A和B。
2. 我给您一个新的对象W，向左两个箭头：A-> W，向右：B-> W。
3. 您给我一个对象Z和箭头f：A-> Z和g：A-> Z。
4. 我给您一个箭头h：W-> Z，使图表上下班（...并且该箭头由到目前为止的选择唯一确定）。

修改上面有关产品和Pair的讨论以使其适用于副产品和data Copair a b = L a | R b应该很简单。