Question

我对定理中的命题使用花括号感到非常困惑。请参阅以下四个代码段：

theorem contrapositive_1 : ∀ (P Q : Prop),
  (P -> Q) -> (¬ Q -> ¬ P) := sorry

theorem contrapositive_2 (P Q : Prop) : 
  (P -> Q) -> (¬ Q -> ¬ P) := sorry

theorem contrapositive_3 : ∀ {P Q : Prop},
  (P -> Q) -> (¬ Q -> ¬ P) := sorry

theorem contrapositive_4 {P Q : Prop} : 
  (P -> Q) -> (¬ Q -> ¬ P) := sorry

我以为它们都是相同的，但显然它们不是一样的，因为当我想在另一个定理的证明中使用contraprositive_1和contraprositive_2时，lean显示了一个错误类型不匹配：

项h1的类型为P→Q：Prop，但预计其类型为Prop：类型

另一方面，contraprositive_3和contraprositive_4可以正常工作。

大括号和大括号有什么区别？

Answer 1

区别在于参数是显式()还是隐式{}。通常，您希望参数是显式的，除非可以从以后出现的参数中找出它们。例如

lemma foobar {X : Type} (x : X) : x = x := sorry

在这种情况下，X是隐式的，因为一旦您向Lean讲解x，它便可以找出X本身（它是x的类型）。换句话说，如果要将引理应用于y : Y，则只需编写foobar y。如果相反，你会做

lemma quux (X : Type) (x : X) : x = x := sorry

您必须将其称为quux Y y。

如果在名称前放置@，则会将所有隐式参数转换为显式参数。因此，您可以致电@foobar Y y。 “相反”，如果您希望精益本身自己找出Y，则可以写一个下划线：quux _ y。

TPIL中的相关部分：https://leanprover.github.io/theorem_proving_in_lean/dependent_type_theory.html#implicit-arguments

定理中命题的大括号和大括号之间的区别

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