Question

假设我的方程T = sum（A ** n），其中n从1到M。

现在让我说我认识M和T，但是想要A。我该如何求解A？

如果发生错误，我想进行指数补偿，但是我不希望花费的总补偿时间大于T，也不希望重试的最大次数超过M。所以我需要找到A。

Answer 1

n从1到M的sum（A ** n）的闭式解为（A ^（M + 1）-1）/（A-1）-1。 = 3且A =2。则2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 = 14，而（2 ^ 4-1-/（2-1）-1 = 15 / 1-1 = 14。

因此，我们有一个封闭形式的表达式T =（A ^（M + 1）-1）/（A-1）-1。这是一个超越方程，没有封闭形式的解决方案。但是，由于RHS在A中单调增加（A的值越大，表达式的值就越大），那么我们可以做等于二分查找的方法来找到任意精度的答案：

L = 0
H = MAX(T, 2)
A = (L + H) / 2
while |(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T| > precision
    if (A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 > T then
        H = A
    else then
        L = A
    end if
    A = (L + H) / 2
loop

例如：T = 14，M = 3，ε= 0.25

L = 0
H = MAX(15, 2) = 14
A = L + H / 2 = 7

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 385 > 0.25
H = A = 7
A = (L + H) / 2 = 3.5

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 44.625 > 0.25
H = A = 3.5
A = (L + H) / 2 = 1.75

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 3.828125 > 0.25
L = A = 1.75
A = (L + H) / 2 = 2.625

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 13.603515625 > 0.25
H = A = 2.625
A = (L + H) / 2 = 2.1875

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 3.440185546875 > 0.25
H = A = 2.1875
A = (L + H) / 2 = 1.96875

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 0.524444580078125 > 0.25
L = A = 1.96875
A = (L + H) / 2 = 2.078125

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 1.371326446533203125 > 0.25
H = A = 2.078125
A = (L + H) / 2 = 2.0234375

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 0.402295589447021484375 > 0.25
H = A = 2.0234375
A = (L + H) / 2 = 1.99609375

|(A ^ (M + 1) - 1) / (A - 1) - 1 - T|
 = 0.066299498081207275390625 < 0.25

Solution: 1.99609375

指数退避

1 个答案: