浮点运算错误界限

Question

给定等式ax^2 + bx + c，我们知道判别式D = b^2 - 4ac告诉我们方程式是否有两个不同的根D > 0，一个重复的根D = 0，或者不是真的根D < 0。显然，如果判别式为零，则错误可能使其为正或负，这取决于误差更大的位置。 证明如果判别式非零，则浮点计算中的错误不会使其符号翻转（即，从正到负，或从负到正）。错误可以使判别式等于零吗？

我知道这与实际编程没什么关系，但我究竟如何证明floating point calculation error of the discriminant不可能导致正判别D以某种方式变为负数，反之亦然。

Answer 1

1. 这句话并不像写的那样真实。它取决于二进制浮点运算的属性，如果计算是在不同的基数中执行的话，它必然不成立（例如，它不能保存在IEEE-754十进制浮点数中）。诚然，这是一个极端的案例，而不是我期望在本科课程中讨论的事情。但是，这也是一个暗示，我为什么要向你指出。
2. 灾难性取消不起作用。
3. 证明几乎立即从二进制浮点运算的基本属性开始。

这就是我所说的，因为这显然是家庭作业。如果你想张贴你的证据，我会很乐意提供建议，但我不会为你做你的工作。

最后：习惯于面对你不知道该怎么做的家庭作业，特别是在理论CS或数学课程中。如果你已经知道如何去做，你就不会学到任何东西，那会是什么意思呢？

编辑：Eric Postpischil是正确的，即使在二进制算术中，某些边缘情况的语句也是假的。

Answer 2

声称如果评估判别式产生非零结果，则它具有与数学上准确的判别式不相符的相同符号。由于这是一个家庭作业问题，我暂时不会说更多，除了提示：考虑到即使最终结果不在浮点数范围之外也可能出现下溢或溢出。

Answer 3

我认为必须检查决定因素是肯定的还是否定的，这实际上是检查b^2是否大于或小于4ac。

在这两种情况下，你将两个数相乘，所以错误是（类似的）？看起来就像你正在寻找的那种推理。

但是将案例推向极端，例如，如果您的数字是浮点数而“错误”实际上只是使用整数，则可以更改符号：

a = 2，b = 2，c = 2/3

行列式是：D = 2 ^ 2-4 * 2 * 2/3 = -1.333

取错误，将c舍入为0，行列式变为：D = 2 ^ 2 - 0 = 4

如果这太极端了，你可以根据需要划分所有这些系数，它仍然是相同的等式，误差较小，你应该得到相同的结果......

更多...

也许答案是蒂姆所描述的，当数字彼此非常不同时会有取消（并且相当小的数字会被忽略），这不能改变差异的变化。

因此，如果abs(b^2)比abs(4ac)大得多，则行列式将是abs(b^2)的符号......反之亦然。