如何在三次样条曲线实现中计算离散点集的一阶导数？

Question

我正在尝试实现三次样条插值。三次样条曲线在数学上并不难理解，但是我对理解术语“ Di”有疑问，如mathworld上的fourth equation所示。

Di是否指的是通过从离散点集中获取当前点和下一点（分别为y_i和y_i + 1）而计算出的有限差？

Answer 1

Di仅是点y_i处三次样条的一阶导数向量。可以通过包括有限差分在内的多种方式来计算。 Catmull-Rom样条是从y_（i-1）和y_（i + 1）推断y_i的一阶导数的常用样条。

该MathWorld文档的第一部分（直到等式9）仅表明，如果您具有n个点和n个一阶导数，则将完全定义通过所有n个点的三次样条。注意，该三次样条由（n-1）次多项式组成，通常只有C1连续。

等式后该文档的第二部分。图9显示，通过在所有内部点（即等式13）使三次多项式之间的二阶导数相同，可以消除对一阶导数的需要。但是，这样做将导致（4n-2）个方程具有4n个未知数。因此，我们需要再添加两个条件。在这两个条件下，第一个点和最后一个点（等式16、17）的零二阶导数通常被使用，这也将导致所谓的自然三次样条。