n x n方阵的一维表示的就地旋转

Question

我有一个表示为一维数组的n x n矩阵。左上角从索引0开始。索引i计算为i = x * n + y，其中x和y是二维表示形式中的矩阵条目的索引。

对于n = 4

0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15

要将其顺时针旋转90度，我们得到

12 8 4 0
13 9 5 1
14 10 6 2
15 11 7 3

映射现在为i = 12 + y - (n * x)

使用O（n ^ 2）空间，我们只需将原始索引映射到旋转索引，然后复制到原始位置的条目上。很简单。

但是我想知道是否有一种方法可以对方形矩阵进行一维表示。我知道那里有很好的二维表示算法...有什么建议吗？

Answer 1

任何旋转都可以分解为横跨两个不同轴的两个连续反射。在您的情况下，可以通过交换矩阵元素来完成反射。因此可以就地完成。

例如，对于旋转90度，可以围绕x轴进行第一次反射，将第一行与最后一行交换，然后将第二行与第三行交换，得到：

12 13 14 15
8 9 10 11
4 5 6 7
0 1 2 3

现在第二次反射围绕主对角线，就像矩阵的转置一样，以对称方式在对角线上交换元素：

12 8 4 0
13 9 5 1
14 10 6 2
15 11 7 3

两个反射都可以迭代交换单个元素来完成，因此它们可以就地完成。矩阵是1D还是2D不会匹配。

就地旋转的C ++示例（矩阵的一维数组表示）：

const int ROWS = 4;
const int COLS = ROWS;
int A[ROWS*COLS];

int index(int row, int col) { return col + COLS * row; }
void swap(int i, int j) { int a = A[i]; A[i] = A[j]; A[j] = a; }

// x-axis reflection
for(int row_i = 0 ; row_i < ROWS / 2; ++row_i) {
    int row_j = ROWS - row_i - 1;
    for(int col_i = 0 ; col_i < COLS ; ++col_i)
        swap( index(row_i, col_i), index(row_j, col_i) );
}

// diagonal reflection
for(int row_i = 0 ; row_i < ROWS; ++row_i) {
    for(int col_i = row_i + 1 ; col_i < COLS ; ++col_i)
        swap( index(row_i, col_i), index(col_i, row_i) );
}