Question

我开发了以下代码来查找给定多项式的根。它工作正常，但我需要对其进行调整以找到所有根，而不是在收敛时停止。我该怎么做呢？我曾考虑过为x的值创建一个外部do循环，但是我不确定这是否是正确的方法。感谢您的任何帮助。

PROGRAM nr
integer :: i
real :: x, f, df
write(*,*) "x=?"
read (*,*)  x           
write (*,*) '# Initial value: x=',x

 do i=1,100
     f= x**4 - 26*(x**3) + 131*(x**2) - 226*x + 120
     df = 4*(x**3) - 3.0*26*(x**2) + 2.0*131*x - 226
     write (*,*) i,x,f,df
     x = x-f/df
 end do

 write (*,*) '#x = ',x




END PROGRAM

Answer 1

找到多项式P的所有根的可能算法包括：

使用牛顿算法从某个X0开始，找到根R。
将P除以（X-R）：除法是精确的（直到数值误差），因为R是根。（此步骤称为放气）
如果商的度数> 1，则从头开始。

有一些细微之处：

如果多项式具有实系数，且X0为实，则仅会找到实根（如果有）。要找到复杂的根，则必须从复杂的X0开始，当然要使用复杂的算术。
并非所有X0值都可以保证收敛，因为Newton-Raphson是 local 方法。请参阅牛顿方法的Newton-Kantorovitch theorem和basins of attraction。
如果存在多个根，则收敛会慢得多。有多种方法可以使牛顿方法适应这一问题。

Wilkinson's polynomial

有多种方法可以找到关于根的信息（绑定在绝对值上，将根围成圆...），这有助于在算法中选择一个好的X0：请参见Geometrical properties of polynomial roots。如果您只在寻找实多项式的实根，则先找到界限，然后使用Sturm's theorem查找包围根的区间。在实际情况下，另一种方法是先找到导数P'的根（然后找到它的根，先找到P''的根，等等），因为P'的根将P的根分开（除了多根）。
另一本建议阅读：Roots of polynomials。注意，有比牛顿+放气更好的算法。还有一些旨在查找所有根的算法。

但是，如果您只对这个特定的多项式感兴趣，我建议您先看一下问题，因为它比一般情况下要容易得多：WolframAlpha。在这里，从X0的整数值开始将很好地工作...

使用Fortran 90的牛顿-拉夫森法

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