Question

cnt = 0
N = int(raw_input())
for i in range(1,N+1):
    for j in range(1,N+1):
        for k in range(1,N+1):
            if (i*j)%k == 0:
                cnt+=1

给出python代码，是否可以进一步优化它，使cnt值正确。我尝试过的一种方法是在kth循环中计算因子，这会使复杂度从o（n ^ 3）变为o（n ^ 2root（n））

Answer 1

您可以采取几种措施来改善这一状况。该算法计算i, j可整除的（k）个产品的数量，所有数字均在[1, N]范围内。您可以通过明智地选择循环限制来减少开销：

for i in range(1, N+1):
    for j in range(i, N+1):
        for k in range(i*j, N+1):
            if (i*j) % k == 0:
                cnt += 1

要k除以i*j，i和j必须包含必需数量的k的每个素数。您可以直接计算这些，而不必遍历所有可能性。从外部循环中的k开始，确定其主要因素，然后生成所有将覆盖这些因素的i*j组合。

从循环开始，为整个范围[2，N]生成素数分解。可以使用Eratosthenes的筛子来处理它，但是不要立即取消合成数的资格，而要保留其因素列表。例如，如果N = 10，您将使用方便的分解列表来完成此循环：

现在，您可以对每个i j k值进行分解。

for k in range(2, N):
    fact = # prime factors of k
    for i in range(2, N):
        if i has no factors in common with k:
            count += N // i  # We need j%k == 0; this is a simple division.
        else:
            divisors = # remove common i-factors from k-factors (reduce)
            new_i = # product of remaining factors
            count += N // new_i   # j must be a multiple of "reduced" k

例如，对于k=6，我们这样迭代：

i = 1: relatively prime to k; add (10 // 6) j-values: j=6 is the only solution
i = 2: Common factor of 2; treat as k = 6/2; add (10 // 3) j-values
i = 3: Common factor of 3; treat as k = 6/3; add (10 // 2) j-values
i = 4: Common factor of 2; treat as k = 6/2; add (10 // 3) j-values
i = 5: relatively prime to k; add (10 // 6) j-values: j=6 is the only solution

您看到它如何工作吗？

您可以进行一些其他检查，以通过线性和次线性因素来减少开销，但如上所述，我们仍将有一个受控的 O（n ^ 2）循环。

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该代码块的优化版本是什么

1 个答案: