将“最佳”产品类型映射到“次优”产品类型的唯一态射m是否真的唯一？

Question

我正在研究Bartosz Milewski关于类别理论的出色博客。我被困在products and coproducts上。

Bartosz说，两个对象a和b的乘积是带有两个投影的对象c，因此对于任何其他带有两个投影的对象c'是从m到c'的唯一变态c，将这些投影分解。

我们当然可以在集合和函数的类别中找到合适的示例。 Int和Bool这两种类型的乘积是(Int, Bool)对。这两个投影分别是p (int, _) = int和q (_, bool) = bool。但是，Int和Bool乘积的另一个候选者：类型为Int，投影为p' int = int和q' _ = True。正如Bartosz所说：“虽然很la脚，但符合条件。”请注意，产品类型Int包含的值少于产品类型(Int, Bool)。准确地说是一半。即使两种产品类型都可以映射到整个Int类型，但是产品类型Int可以映射到Bool类型的一半。它不是形容词（如果这是正确的词）！

因为我们可以提出一种m :: (Int, Bool) -> Int的简单用法（其中m只能唯一地实现为m (int, _) = int），所以我们知道产品类型{{ 1}}比(Int, Bool)更好。在这一点上，我想知道：难道我们不能像Int那样容易地实现m吗？那不是第二种态吗？还是不允许这样做，因为得到的乘积m (int, _) = int + 1实际上根本不是Int，而是Int被“移位了” 1？

L

Answer 1

m中的箭头指向错误的方向。我们知道(Int, Bool)比Int“更好”，因为我们有一个态射m :: Int -> (Int, Bool)，m x = (x, True)。它满足p . m == p'和q . m == q'的条件，这就是m 分解 p'和q'的含义。如果您以其他任何方式定义m，则此条件将不成立。

例如，如果将其定义为m x = (x + 1, True)，则定义为p (m 0) == 1，但是定义为p' 0 == 0。

您的地图m' :: (Int, Bool) -> Int如果将p和q分解，也将指出Int是合适的产品。但是合成q' . m' :: (Int, Bool) -> Bool始终返回True，因此它不能等于q。