Question

因此，当z和z[i, j] = 1之间的距离小于或等于150和i时，我想添加一个二进制变量j，其中z[i, j] = 0除此以外。我有一个列表c，其中每个c[i][j]代表i和j之间的距离。我当然不能在下面将z设置为普通的二进制变量：

y = m.addVars(I, J, vtype=GRB.BINARY, name="assign")

我想添加约束：

# One day mailing
m.addConstrs(
    z[i,j] <= y[i,j] for i in I for j in J,
    "Serve")

# Coverage Constraint
m.addConstr(
   quicksum(h[i] * z[i, j] for i in I for j in J) <= 
        0.9 * quicksum(h[i] * y[i, j] for i in I for j in J),
        "Cover")

其中h是带有整数的列表。如何设置z？

Answer 1

首先，您需要添加z作为二进制变量：

z = m.addVars(I, J, vtype=GRB.BINARY, name="z")

然后，当且仅当z[i, j] = 1时，您需要约束以确保c[i, j] <= 150。一种方法是使用指标约束：

z = 1 -> c <= 150
z = 0 -> c >= 150

这等效于

c > 150 -> z = 0
c < 150 -> z = 1

您将这些添加如下：

m.addConstrs((z[i, j] == 1) >> (c[i][j] <= 150) for i in I for j in J)
m.addConstrs((z[i, j] == 0) >> (c[i][j] >= 150) for i in I for j in J)

您还可以自己对此进行显式建模：如果您在M的值上有m和c[i][j] - 150的上限和下限（即，对于所有M >= c[i][j] - 150 >= m的限制是i, j），则可以使用以下约束：

M * (1-z) >= c - 150
m * z <= c - 150

如果c > 150，则两个不等式的右边将为正。然后，第一个强制1 - z = 1，因此强制z = 0。第二个不平等将被轻易满足。

如果c < 150，则右侧为负。第一个不平等变得微不足道，而第二个不平等迫使z = 1。

对于M，c中的最大条目将起作用，对于m，如果所有-150均为非负数，则可以选择c[i][j]。

您添加以下约束：

m.addConstrs( M * (1 - z[i, j]) >= c[i][j] - 150 for i in I for j in J )
m.addConstrs( m * z[i,j] <= c[i][j] - 150 for i in I for j in J )

请注意，我忽略了c = 150的情况。这是因为对于浮点数，总是只将等式视为在公差范围内，因此没有简单的方法可以区分严格和非严格不等式。您可以使用epsilon对此进行近似，例如：

z = 0 -> c >= 150 + epsilon

在Gurobi中添加二进制变量

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