度量标准与规范之间有什么区别？

Question

从我的理解来看，度量标准比规范定义了更抽象的实体，但是我并不真正了解。有人可以用外行的话向我解释吗？

Answer 1

范数是仅在具有向量空间时才有意义的概念。它定义了向量的幅值的概念，可用于测量两个向量之间的距离，作为其差值的大小。规范是线性的，因为它们保留（正）缩放比例。这意味着，如果您缩小或放大矢量的配置（仅在矢量空间中有意义的操作），则矢量之间的距离将以相同的比例缩放。

度量是一个更笼统的概念，可以基于没有基础代数结构的空间进行判断。它们体现了距离的概念，并且与任何代数特征无关（在这些空间中甚至可能不存在）。如果您有范数，则有一段距离，但是您可以有一段距离，而无需任何求和运算或标量操作。

存在第三种抽象层次，可以在没有任何距离的情况下表达邻近的概念。这些被称为拓扑空间，其体现不依赖于距离（或范数）的概念，而是依赖于邻居的概念。