根据树叶上的数据找到一棵树

Question

让一个无向的树T，让它：T.leaves - 所有的叶子（每个叶子都是d(v) = 1）。我们知道：|T.leaves|和distance between u and v for each u,v in T.leaves。
换句话说：我们有一个无向树，我们知道它有多少叶子，以及每两片叶子之间的距离。 我们需要找到how many inside vertices (d(v)>1) are in the tree。

注意：建造完整的树是不可能的，因为如果我们只有2片叶子但它们之间的距离是2 ^ 30，则需要很长时间......
我试着从最短的距离开始计算它们之间有多少个顶点，然后加上最接近它们的顶点，但为此我需要一些公式f（leaves_counted，next_leaf）但我可以找不到那个... 任何想法？

Answer 1

继续评论中的讨论。这是如何检查特定（压缩）边缘以查看是否可以在其中间的某处附加新顶点n，而无需迭代距离。

好的，所以你需要找到三个数字：l（附着点距离相关边缘左边节点的距离），x（新节点距离附加点）和r（与l对称。）

显然，对于集合y（树的左侧部分）中的每个节点L，它与A的距离必须与其距n的距离不同相同的号码（我们称之为dl必须相等l + x）。如果不是这种情况，则没有针对此特定边缘的解决方案。同样适用于R中的节点，分别为dr和r + x。

如果上述情况成立，则您有三个等式：

l + x = dl

r + x = dr

r+l = dist(A,B)

三个方程式，三个数字。如果这有一个解决方案，那么你找到了正确的优势。

在最糟糕的情况下，您需要针对每个边缘迭代上述内容，但我认为可以对其进行优化 - L和R上的距离检查可能会排除进一步搜索中树的某个部分。也许有可能以某种方式获得节点的数量甚至不构建树。

Answer 2

如果您的二叉树有L个叶子，那么无论树的形状如何，它都有L-1个内部顶点。

您可以轻松证明这一点：从只有一个节点（根）节点的树开始。然后取任何叶子，并向其中添加两个后代，将叶子转换为内部顶点并添加到叶子。这将删除一个叶子（旧节点），并添加一个内部节点和两个叶子，即net是+1内部节点和+1叶子。因为你从一个叶子和0个内部节点开始，所以你总是| leaves | = |内部节点| +1 ---此过程可以生成任何树形状。

这里有4片树的所有两种形状的例子（除了琐碎的左​​右对称）：

    o        o
   o L      o o
  o L     L L L L
 L L

内部顶点的数量始终为3.