自然数的二进制表示

Question

要从自然数（如20）中获得二进制表示，我们将该数字除以2，依此类推，直到不能再除以2。为了从十进制数字（如0.4512）获得二进制表示，我们将该数字乘以2次重复。

为什么用这两个系统得到二进制表示法的逻辑解释是什么？

谢谢

Answer 1

它基于数字以二进制编码的事实。

如果数字A是整数，则将A重写为A = ∑ _{i = 0} ^n-1 a _i ×2 ⁱ = a _n-1 ×2 ^n-1 + a _n-2 ×2 ^n-2 + ... + a ₁ ×2 + a ₀

其中a _i = 0或1。

很容易看到A是偶数，a ₀ = 0，如果它是奇数，则a ₀ = 1。因此，我们已经有了最低有效位a ₀ 。

现在，如果将A除以2，则 ₀ 消失了， A / 2 = a _n-1 ×2 ^n-2 + a _n-2 ×2 ^n-3 + ... + a ₂ ×2 + a ₁

我们可以根据A / 2的奇偶性来确定a ₁ 。然后继续，我们得到了A的所有位。

分数根据2的负幂表示。如果A = 0.a _-1 a _-2 ... a _-n ，A = a _-1 / 2 + a _-2 / 4 + ... + a _-n / 2 ^ ⁿ

如果将其乘以2，则2×A = a _-1 + a _-2 / 2 + ... + a _-n / 2 ^ ^n-1 。如果2×A≥1，则必须具有a-1 = 1，否则a-1 = 0。并且我们可以通过连续乘以2来确定其他位是类似的方式。