Question

我有以下简单的ODE：

dx/dt=-1

在初始条件x（0）= 5的情况下，我对x（t）== 1的情况感兴趣。因此，我具有以下事件功能：

function [value,isterminal,direction] = test_events(t,x)
    value = x-1;
    isterminal = 0;
    direction = 0;
end

这应该在t = 4产生一个事件。但是，如果我运行以下代码，则会得到两个事件，一个事件在t = 4，另一个事件在附近的位置t = 4 + 5.7e-14：

options = odeset('Events',@test_events);
sol = ode45(@(t,x)-1,[0 10],5,options);
fprintf('%.16f\n',sol.xe)
% 4.0000000000000000
% 4.0000000000000568

如果我运行类似的代码来查找x（t）== 0或x（t）==-1（分别为value = x;或value = x + 1;），则我只有一个事件。为什么会产生两个事件？

更新：如果选项结构更改为以下内容：

options = odeset('Events',@test_events,'RelTol',1e-4);

...然后ODE仅在t = 4 + 5.7e-14时返回一个事件。如果“ RelTol”设置为1e-5，则它将在t = 4返回一个事件。如果“ RelTol”设置为1e-8，它将返回与默认事件相同的两个事件（“ RelTol” = 1e-3）。此外，将初始条件从x（0）= 5更改为x（0）= 4会生成一个事件，但是将x（0）= 4和'RelTol'= 1e-8设置为会生成两个事件。

更新2：观察sol.x和sol.y输出（分别为t和x），时间以整数[0 1 2 3 4 5 6 7 ...]进行，直到x以整数进行直到x（t = 5）像这样：[5 4 3 2 1 1.11e-16 -1.000 -2.000 ...]。这表明在t = 4和t = 5之间发生某种事情，在ODE解决方案中产生了“碰撞”。为什么？

Answer 1

一个推测可能解释在此简单问题中如何发生舍入误差：使用ODE导数函数的评估k_n（也称为“密集输出”）在内部步骤之间插值解决方案。理论形式是

b_1(u)k_1 + b_2(u)k_2 + ...b_s(u)k_s

其中0 <= u<= 1是内部点之间的时间间隔内的参数，即t = (1-u)*t_k+u*t_{k+1}。

系数多项式不是平凡的。尽管在示例中，所有k_i=1都是常数，但求和b_1(u)+...+b_s(u)会累积舍入误差，即使在y_k和{{ 1}}是正确的。在该累积浮点噪声范围内，该值可能会在根附近振荡，从而导致检测到多个零交叉。

简单条件下ODE事件数量随条件变化而变化

1 个答案: