给定2个密文和1位公钥不同时，在RSA中查找原始消息

Question

使用RSA， 知道这一点：

• K_1-公钥
• K_2-公钥
• C_1 = E(M,K_1)-密文
• C_2 = E(M,K_2)-密文
• 键K_1和K_2只是一位不同（我们不知道哪一位）。

如何找到原始的纯文本M？ 注意：不能使用暴力破解。

我在某处读到 r*K_1 + s*K_2 = 1 modN,和r（或s）也可能为负。

因此，可以这样找到M ：((C_1 )^-1)^-r * (C_2)^s = M

注意：((C_1 )^-1)可以从C_1计算得出，因此M可以计算出来。

问题：谁说gcd(K_1,K_2) = 1,，那么r*K_1 + s*K_2 = 1 modN怎么可能是真的？

第二，如果该解决方案不正确，任何人都可以告诉我他如何解决这个问题？

Answer 1

假设K_1和K_2是合法密钥，则应该存在以下内容：

gcd(K_1, φ(φ(N))=1和gcd(K_2, φ(N))=1，其中φ是Euler的totient函数。

鉴于此，我们知道K_1和K_2必须奇数。根据这些键仅相差1位的信息，我们知道gcd(K_1, K_2)=1。这意味着存在r s，例如rK_1 + sK_2 = 1（gcd的定义）。

我们知道C_1 = E(M,K_1)和C_2 = E(M,K_2)。

让我们将C_1^r乘以C_2^s来看看我们得到了什么：

C_1^r * C_2^s = (M^K_1)^r * (M^K_2)^s = M^(rK_1 + sK_2) = M^1 = M

我们找到了原始消息M。