Question

是否可以编写一个函数，该函数接受一个 n 个整数数组和一个整数 k 并返回BITWISE OR值等于的数组元素对数 k 比O（ n ²）时间好吗？

示例：如果我们有一个数组= [21，10，29，8]并且k = 31，则该函数应返回2，因为有效对是（21，10）和（10，29）。 / p>

*为清楚起见* 21 OR 10 = 31，21 OR 29 = 29，21 OR 8 = 29，10 OR 29 = 31，10 OR 8 = 10,29 OR 8 = 29，因此答案为2。

**** k是一个常数，总是31。****

Answer 1

假设时间单位是对跨越 k 的单词大小的基本运算，则O（ n + k ²）是可能的：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NumberOf(a) (sizeof (a) / sizeof *(a))


static unsigned Count(size_t N, unsigned *A, unsigned k)
{
    //  Count number of elements with each pattern of bits in k.
    unsigned *C = calloc(k + 1, sizeof *C);
    if (!C) exit(EXIT_FAILURE);
    for (size_t n = 0; n < N; ++n)
        if ((A[n] & ~k) == 0) ++C[A[n]];

    //  Count number of solutions formed with different values.
    unsigned T = 0;
    for (size_t i = 0; i < k; ++i)
    for (size_t j = i+1; j <= k; ++j)
        if ((i | j) == k)
            T += C[i] * C[j];

    //  Add solutions formed by same value (only possible when both are k).
    T += C[k] * (C[k]-1) / 2;

    free(C);

    return T;
}


int main(void)
{
    unsigned A[] = { 21, 10, 29, 8 };
    printf("%u\n", Count(NumberOf(A), A, 31));
}

这可以简化为O（ n + p ²），其中 p 是通过将每个数组元素压缩为刚好在 k 中设置的位（删除不在 k 中的位并将其余位移动为连续）。另外，可以改善计算组合的主循环，但我认为这不会影响O（）时间。

Answer 2

人们认为答案是“否”。

假设您的k是2^s - 1（因此它是二进制的111...111），并且所有数字最多为k。然后

a or b = k <=> (~a) and (~b) = 0.

，其中~是“按位不”。例如

110 or 101 = 111 <=> 001 and 010 = 0

这是一个一般的正交向量问题（OVP），流行的猜想指出，它的求解速度不及O(n^2)（我忽略了一些细节）。

请参见此处的猜想1：https://arxiv.org/pdf/1510.02824.pdf。

具有给定OR值的对数

2 个答案: