最大排列数

Question

某些排序算法（例如插入排序）对于n的某些子集具有Θ（n）渐近运行时！ n个元素的可能排列，这意味着对于这些排列，对于某些常数k，Insertion Sort的比较次数为kn。对于给定的常数k，在kn次比较中，任何给定的比较排序可以终止的最大排列数量是什么？

Answer 1

插入排序中的操作数取决于反转数。因此，我们需要评估n值的排列次数（为简便起见，1..n），其中包含准确的k求逆。

我们可以看到Inv(n, 0) = 1-排序后的数组
另外Inv(0, k) = 0-空数组

我们可以获得具有n个元素和k倒置的数组：
-将值n添加到具有n-1项和k反转的数组末尾（因此反转次数保持不变） 在具有n项和n-1倒置的数组末尾之前插入值k-1（因此添加一个倒置）
-在数组末尾的两个元素前插入值n，其中包含n-1个项目和k-2个反转（因此添加两个反转）
-依此类推

使用这种方法，我们可以按行和逐个单元格地填充表Inv[n][k]

  Inv[n][k] = Sum(Inv[n-1][i]) where j=0..k

Answer 2

每个比较最多可以使您无法区分的输入排列加倍。因此，通过kn比较，您最多可以对2^(kn)个排列进行排序。