为什么在Fortran上进行riemann和逼近时中点法则比辛普森法则更精确

时间:2019-02-23 02:31:24

标签: fortran gfortran

所有人。

我只是在使用中点法则和辛普森法则来计算[1,2]中x ^ 2的积分。而且我发现,在子区间数相同的情况下,中点规则近似似乎比辛普森规则近似更准确,这确实很奇怪。

中点规则近似的源代码为:

program midpoint
implicit none                 ! Turn off implicit typing
Integer, parameter :: n=100   ! Number of subintervals
integer :: i                  ! Loop index
real :: xlow=1.0, xhi=2.0     ! Bounds of integral
real :: dx                    ! Variable to hold width of subinterval
real :: sum                   ! Variable to hold sum
real :: xi                    ! Variable to hold location of ith subinterval
real :: fi                    ! Variable to value of function at ith subinterval
dx = (xhi-xlow)/(1.0*n)       ! Calculate with of subinterval
sum = 0.0                     ! Initialize sum
xi = xlow+0.5*dx              ! Initialize value of xi
do i = 1,n,1                  ! Initiate loop
 ! xi = xlow+(0.5+1.0*i)*dx
 write(*,*) "i,xi ",i,xi      ! Print intermidiate result
 fi = xi**2                   ! Evaluate function at ith point
 sum = sum+fi*dx              ! Accumulate sum
 xi = xi+dx                   ! Increment location of ith point
end do                        ! Terminate loop
write(*,*) "sum =",sum
stop                          ! Stop execution of the program
end program midpoint

相应的执行方式是:

  ......                   .....      ..................  
 i,xi          100   1.99499905    
 sum =   2.33332348 

辛普森规则近似的源代码为:

program simpson
implicit none                 ! Turn off implicit typing
integer, parameter :: n=100   ! Number of subintervals
integer :: i=0                ! Loop index
real :: xlow=1.0, xhi=2.0     ! Bounds of integral
real :: h                     ! Variable to hold width of subinterval
real :: sum                   ! Variable to hold sum
real :: xi                    ! Variable to hold location of ith subinterval
real :: fi                    ! Variable to value of function at ith subinterval
real :: Psimp                 ! Variable of simpson polynomial of xi interval
h = (xhi-xlow)/(1.0*n)        ! Calculate width of subinterval
sum = 0.0                     ! Initialize sum
do while (xi<=xhi-h)          ! Initiate loop
 xi = xlow+i*2.0*h            ! Increment of xi
 i=i+1
 write(*,*) "i,xi ",i,xi      ! Print intermidiate result
 Psimp=xi**2+4.0*(xi+h)**2+(xi+2.0*h)**2
                              ! Evaluate function at ith point
 sum = sum+(h/3.0)*Psimp      ! Accumulate sum
end do                        ! Terminate loop
write(*,*) "sum =",sum
end program simpson

相应的执行方式是:

 ........                  ......    ...................  
 i,xi          101   2.00000000    
 sum =   2.37353396 

要获得与中点结果相同的数字精度,我必须将Simpson程序中的子间隔数设置为100000,这是中点程序的1000倍(我最初将两个数子间隔都设置为100)< / p>

我检查了Simpson程序中的代码,找不到错误的地方。

如果我没记错的话,辛普森法则的收敛速度应该比中点法则更快。

1 个答案:

答案 0 :(得分:1)

克雷格·伯利(Craig Burley)曾经说过WHILE循环看起来就像一旦违反了循环的前提,就会立即退出循环。这里,x=xhi违反了循环的前提,但是循环并没有在那一点中断,只有当整个Nother迭代完成并且可以在循环的顶部进行测试时,循环才会中断。您可以使用Fortran惯用法更一致地将循环转换为类似

的计数DO循环
DO i = 0, n/2-1

然后注释掉

  i=i+1

行。或者只是在修改xi之后立即测试循环前提:

xi = xlow+i*2.0*h ! Increment of xi
if(xi>xhi-h) exit ! Test loop premise

无论哪种方法,对于辛普森规则,其阶数不大于3的多项式都将得到精确的结果。