Question

给定稀疏矩阵A和向量b，我想获得方程x的解A * x = b以及{{1 }}。

一种可能性是convert A进行密集表示。

是否可以直接在稀疏表示中执行相同操作？除了FullPivLu之外，我在任何地方都找不到函数#include <iostream> #include <Eigen/Dense> #include <Eigen/SparseQR> int main() { // This is a toy problem. My actual matrix // is of course bigger and sparser. Eigen::SparseMatrix<double> A(2,2); A.insert(0,0) = 1; A.insert(0,1) = 2; A.insert(1,0) = 4; A.insert(1,1) = 8; A.makeCompressed(); Eigen::Vector2d b; b << 3, 12; Eigen::SparseQR<Eigen::SparseMatrix<double>, Eigen::COLAMDOrdering<int> > solver; solver.compute(A); std::cout << "Solution:\n" << solver.solve(b) << std::endl; Eigen::Matrix2d A_dense(A); std::cout << "Kernel:\n" << A_dense.fullPivLu().kernel() << std::endl; return 0; }。

Answer 1

我认为@chtz的答案几乎是正确的，除了我们需要使用最后的A.cols（）-qr.rank（）列。这是一个数学推导。

假设我们对矩阵Aᵀ做QR分解

A p * P = [Q Q 2] * [R; 0] =Q₁* R

其中P是置换矩阵，因此

Aᵀ=Q₁* R *P⁻¹。

我们可以看到Range（Aᵀ）= Range（Q₁* R *P⁻¹）= Range（Q₁）（因为P和R都是可逆的）。

由于Aᵀ和Q₁具有相同的范围空间，这意味着A和Q₁ᵀ也将具有相同的零空间，即Null（A）= Null（Q₁ᵀ）。（在这里，我们使用以下属性：Range（M）和Null（Mᵀ）对于任何矩阵M都是互补的，因此Null（A）= complement（Range（Aᵀ））= complement（Range（Q₁））= Null（Q₁ᵀ））。

另一方面，由于矩阵[Q 1 Q 2]是正交的，所以Null（Q 1）＝范围（Q 2），因此Null（A）＝范围（Q 2），即核（A）＝ Q 2。 >

由于Q²是正确的A.cols（）-qr.rank（）列，因此您可以调用rightCols(A.cols() - qr.rank())来检索A的内核。

有关内核空间的更多信息，您可以参考https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(linear_algebra)

本征：获得稀疏矩阵的核

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