Question

在Lean中，“ choice”是根据以下条件实现的：

我们选择的公理现在简单表示如下：

axiom choice {α : Sort u} : nonempty α → α

仅给出断言h，即α为非空，选择h神奇地产生了一个α元素。

现在，如果我读有关集合论和选择公理的文献（Jech）：

选择公理（AC）。每个非空集族都有选择功能。

如果S是一组集合，而∅不是S，则S的选择函数是S上的函数f，使得 f（X）∈X 对于每个X∈S。

对我来说，这些事情似乎并不等同。有人可以详细说明吗？

Answer 1

精益中的公理choice实际上与集合论中的axiom of choice不同。精益理论中的公理choice在集合论中并没有相应的陈述。这就是说，有一个 function 可以证明某个类型α是非空的，并产生α的居民。在集合论中，我们不能定义以证明为参数的函数，因为证明不是集合论中的对象，因此它们位于逻辑之上。

也就是说，两个选择公理并非完全无关。通过精益公理choice，您可以从集合论中证明更熟悉的选择公理，即可以找到here的一种版本。

theorem axiom_of_choice {α : Sort u} {β : α → Sort v} {r : Π x, β x → Prop} (h : ∀ x, ∃ y, r x y) :
  ∃ (f : Π x, β x), ∀ x, r x (f x)

在库的其他部分，也证明了选择公理的其他等效语句，例如every surjective function has a right inverse。

也许与您引用的选择公理版本最接近的语句如下：

theorem axiom_of_choice' {α : Sort u} {β : α → Sort v} (h : ∀ x, nonempty (β x)) : 
  nonempty (Π x, β x) :=
⟨λ x, classical.choice (h x)⟩

这句话说：给定一个非空类型（集合）族，选择函数的类型为非空。如您所见，证明是直接来自精益choice的。

精益中选择的定义

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