Question

在一些编程比赛中，数字大于任何可用的整数数据类型，我们通常使用字符串代替。

问题1：有了这些大数字，如何在下面的表达式中计算 e 和 f ？

（a / b）+（c / d）= e / f

请注意： GCD（e，f）= 1 ，即它们必须为最小化形式。例如， {e，f} = {1,2} ，而不是 {2,4} 。
另外，所有 a，b，c，d 都是我们已知的大数字。

问题2：有人还能建议一种方法来找到两个大数字（大于任何可用的整数类型）的GCD吗？

Answer 1

我建议使用完整的字节或单词而不是字符串。

在以256为底数而不是10为底数的思想中相对容易，并且处理器不总是进行10的乘法和除法效率更高。理想情况下，选择的字长应为处理器自然字长的一半，因为这样便于携带。当然，以64K或4G为基础的思考要稍微复杂一些，但甚至比以256为基础更好。

唯一的缺点是从ascii输入生成初始大数，您可以从base 10中免费获得它。使用较大的单词大小，可以通过将多个数字最初处理成一个单词来提高效率（例如，一次将9位数字转换成4G字符），然后对该单词进行长倍乘以大整数格式的正确偏移量。

一个折衷方案可能是使引擎以10亿为基准运行：这仍然比使用10为基础的引擎高9或81倍！

求解该方程式的最简单方法是将a / b * d / d和c / d * b / b相乘，因此它们都具有公分母b * d。

我认为您将需要对大数e和f进行因子分解，以找到任何公因子。请记住再次搜索相同的平方系数。

当然，这意味着您必须编写素数生成筛。您只需要生成最大平方根或e和f最小值的一半位数的因子即可。

您可以对b和d进行素数分解以得到一个较低的初始分母，但是加法之后无论如何都需要再次进行。

Answer 2

我认为解决此问题的方法是分离问题：

将输入数字处理为字符数组（即std::string）
创建一个类，其中每个对象可以存储表示大数字之一的std::list（或类似数字），并可以对数据进行所需的算术运算
然后，您可以正常解决问题，而不必担心大量输入会导致溢出。

Here's a webpage that explains how you can have such an arithmetic class（C ++中的示例代码显示附加内容）。

一旦有了这样的 arithmetic 类，您就不再需要担心如何存储数据或任何溢出。

给人的印象是，当您没有溢出问题时，您已经知道如何找到GCD，但以防万一here's an explanation of finding the GCD（带有C ++示例代码）。

关于特定的数学问题：

// given formula: a/b + c/d = e/f
// = ( ( a*d + b*c ) / ( b*d ) )

// Define some variables here to save on copying
// (I assume that your class that holds the
//   large numbers is called "ARITHMETIC")
ARITHMETIC numerator = a*d + b*c;
ARITHMETIC denominator = b*d;
ARITHMETIC gcd = GCD( numerator , denominator );

// because we know that GCD(e,f) is 1, this implies:
ARITHMETIC e = numerator / gcd;
ARITHMETIC f = denominator / gcd;

用大于任何可用整数数据类型的整数求解数学

2 个答案: