硬币找零问题的变化背后有什么想法？

Question

  

问题：给定一组n个硬币，它们的面值唯一，并且有一个值   change，找到对change进行更改的多种方法。

假设我们可以多次使用一个面额，这是我想出的伪代码

1. NUM-WAYS(denom[], n, change)
2.   dp = [change + 1][n + 1]
3.   for i = 0 to n
4      dp[i][0] = 1
5.   xs = denom.sorted

6.   for i = 1 to change
7.     for j = 1 to n
8.       if xs[j - 1] > i
9.         dp[i][j] = dp[i][j - 1]
10.      else
11.        dp[i][j] = dp[i - xs[j - 1]][j] + dp[i][j - 1]

12.  return dp[change][n]

上面的算法对我来说很清楚。但是，如果只允许我们使用一次面额，那么第11行将更改为dp[i - xs[j - 1]][j - 1] + dp[i][j - 1]，就好像根本不允许我们使用当前面额一样。我没办法解决这个问题。你能解释一下吗？

这是一些测试运行：

Change: 3, denominations: [8, 3, 1, 2]
11111
01111
01222
01233

// use once
Change: 3, denominations: [8, 3, 1, 2]
11111
01111
00111
00122

Change: 4, denominations: [3, 1, 2]
1111
0111
0122
0123
0134

// use once
Change: 4, denominations: [3, 1, 2]
1111
0111
0011
0012
0001

Answer 1

让dp[i][j]表示第[i, j]个子问题的解决方案；那是， dp[i][j]是使用硬币i至j进行金额n更改的方式。

重复出现硬币找零问题

• 第一种情况假设使用了第j个面额的单个硬币。由于对面额没有限制，j可能保持不变，因此可以再次用于较小的子问题：dp[i - xs[j - 1]][j]。

没有重复的找零问题

与上述问题相同，但有一个额外的约束，即某些面额的硬币只能取一次。

• 第一种情况假设使用了第j个面额的单个硬币。由于我们无法再使用面额j，因此j更改为j-1：dp[i - xs[j - 1]][j - 1]

在忽略第j面额的两个问题中，第二种情况相同。