Question

我不确定是否可以使用SMT-LIB做到这一点，如果不可能的话，可以使用替代求解器吗？

考虑方程式

a < 10和a > 5
b < 5和b > 0
b < c < a
具有a，b和c整数

存在a和b时满足等式的最大模型数量的a=9和b=1的值。

SMT-LIB是否支持以下内容：对于a和b的每个值，请计算满足公式的模型数量，并为a和{{1}给出值}，从而使计数最大化。

Answer 1

我认为您通常无法做到这一点；也就是说，当您可以对任意理论施加任意约束时。您在问一个“元”问题：“最大化模型数量”不是关于问题本身的问题，而是关于问题的模型的问题。 SMTLib无法处理的事情。

但是，我认为应该可以针对特定问题对其进行编码。在您给出的示例中，当a - b最大时，模型空间将最大化。所以你可以简单地写：

(set-option :produce-models true)

(declare-fun a () Int)
(declare-fun b () Int)
(declare-fun c () Int)

(assert (< 5 a 10))
(assert (< 0 b  5))
(assert (< b c  a))

(maximize (- a b))
(check-sat)
(get-value (a b))

z3响应：

sat
((a 9)
 (b 1))

根据需要。或者，您可以使用Python绑定：

from z3 import *

a, b, c = Ints('a b c')
o = Optimize()
o.add(And(5 < a, a < 10, 0 < b, b < 5, b < c, c < a))
o.maximize(a - b)

if o.check() == sat:
    m = o.model()
    print "a = %s, b = %s" % (m[a], m[b])
else:
    print "unsatisfiable or unknown"

打印：

a = 9, b = 1

还有C / C ++ / Java / Scala / Haskell等的绑定。这些绑定也使您可以在这些主机上进行或多或少的相同操作。

但是这里的关键点是我们必须手动提出最大化a - b可以解决这里问题的目标。这一步需要人工干预，因为它适用于您当前遇到的任何问题。（想象一下，您正在使用浮点数或任意数据类型的理论；提出这样的措施可能是不可能的。）我不认为可以使用传统的SMT解决方案神奇地使零件自动化。（除非Patrick提出了聪明的编码，否则他还是很聪明的！）

Answer 2

让我们打破目标：

您想枚举a和b （...以及更多）的所有可能方式
对于每种组合，您要计算可满足的模型数量

通常，这是不可能的，因为问题中某些变量的域可能包含无限数量的元素。

即使人们可以放心地假设所有其他变量的域都包含有限数量的元素，它仍然低效率。例如，如果您的问题中只有布尔变量，那么在搜索过程中仍然需要考虑指数组合的值（因此还有候选模型）。

但是，您的实际应用实际上在实践中可能还没有那么复杂，因此可以由 SMT Solver 处理。

总体思路可能是使用某些 SMT Solver API 并按如下步骤进行：

assert整个公式
重复直到完成值的组合：
- push回溯点
- assert一种特定的值组合，例如a = 8 and b = 2
- 永远重复：
  - check寻找解决方案
  - 如果UNSAT，退出最里面的循环
  - 如果SAT，请为a和b的给定值组合增加模型的计数
  - 采用任何其他变量的模型值，例如c = 5 and d = 6
  - assert一个新的约束，要求至少一个“ other” 变量更改其值，例如c != 5 or d != 6
- pop回溯点

或者，您可以隐式而不是显式枚举a和b上的可能分配。这个想法如下：

assert整个公式
永远重复：
- check寻找解决方案
- 如果UNSAT，则退出循环
- 如果SAT，采用模型中控制变量值的组合（例如a = 8 and b = 2），则检查内部映射是否曾经遇到过此组合，如果未将计数器设置为{ {1}}，否则将计数器增加1。
- 采用任何其他变量的模型值，例如1
- c = 5 and d = 6一个新的约束，要求一个新的解决方案，例如assert

如果您不确定要选择哪个 SMT求解器，我建议您使用pysmt开始解决您的任务，该任务可以让您在多个中选择> SMT引擎。

如果对于您的应用程序而言，显式的模型枚举太慢而无法实用，那么我建议您查看有关 CSP计数解决方案的大量文献，其中已经解决了该问题并且似乎存在几种估算CSP解决方案数量的方法。

使用SMT-LIB通过公式计算模块数量

2 个答案: