如何有效解决涉及“模”运算的编码问题？

Question

我们得到一个整数'N'。我们可以选择（1到z）范围内的任意两个数字（a和b）。 L的值由

给出

L = Max(( (N%a) %b) %N)  

我们必须计算对（a，b）赋予值'L'的对数。 我知道强力解决方案之一，O（n ² ）解决方案。 有没有更有效的方法来解决这个问题？！

Answer 1

我能破译Max(( (N%a) %b) %N)的唯一方法是在所有a, b对上都取最大值。如果我错了，请忽略其余部分。

如果z > N/2：

• 首先，请注意，如果a和b都大于N，则(N%a) % b会产生N，因此{{1} }产生的1不能令人满意。因此，其中至少一个应小于(N%a) %b) %N。

• 其次，观察（更好地证明）N的最大值是N % a甚至a和{{ 1}}为奇数（重要说明：是N/2 + 1之后的下一个2的倍数的一半）。将其称为N。

• 最后，观察到任何比该模大的(N + 1)/2都保持不变。证明这确实是所需的最大值。

现在您有足够的事实来提出有效的单行程序（不要忘记N情况）。

相同的逻辑适用于maximizer。找到最大化器有点棘手，但仍然可以在b中找到（请参见上面的重要说明）。