我正在研究与基于CRC生成器的单位错误检测有关的一些问题，并试图分析哪个生成器检测到单位错误，而哪些未检测到。
假设，如果我有一个CRC生成多项式，如x 4 + x 2 。现在，我想知道是否保证检测到一位错误？
1）如果误差多项式x k 的k = 1,2,3，则余数将为x，x 2 ，x 3 在分别用生成多项式x 4 + x 2 进行多项式除法的情况下，并根据参考，如果生成项具有多个项且x 的系数0 为1，则可以捕获所有单位错误。但是，这并不是说如果x 0 的系数不为1，则无法检测到单个位错误。据说“在循环代码中，无法捕获那些可以被g（x）整除的e（x）错误。”
2）我必须检查E（x）/ g（x）的其余部分，其中E（x）（假设它是x k ），其中k = 1,2,3 ，...是误差多项式，g（x）是生成多项式。如果余数为零，那么我将无法检测到错误；当余数为非零时，我将可以检测到错误。
所以，据我所知，生成多项式x 4 + x 2 保证了基于上述两点的单位错误检测。请确认我是否正确与否。
答案 0 :(得分：2)
如果x 0 的系数不为1，则无法检测到单个错误？
如果x 0 的系数不为1，则与将CRC多项式左移1（或更多）位（乘以x的某个幂）相同。将CRC多项式向左移1个或更多位不会影响它检测错误的能力，它只会在代码字的末尾附加1个或多个零位。
生成多项式x 4 + x 2 保证检测到单位错误
正确。 x 4 + x 2 是x 2 + 1左移两位，x 4 + x 2 =（x 2 ）（x 2 + 1）=（x 2 ）（x +1）（x + 1），并且由于x 2 +1可以检测到任何一位错误，因此x 4 + x 2 也可以。同样，在（x +1）项（其中两个）中，它添加了偶数奇偶校验，并且可以检测到任何奇数个误码。
通常，所有CRC多项式都可以检测单个位错误，而与消息长度无关。所有CRC多项式都有一个“周期”周期：如果使用CRC多项式作为Linear Feedback Shift Register的基础，且初始值为000 ... 0001，则在经过固定的循环次数后，它将循环返回到000 ... 0001。 CRC的最简单失败是出现2位错误，其中2位之间的距离等于循环周期。假设8位CRC（9位多项式）的周期为255，则2位错误（一位在[0]处，一位在[255]）将导致CRC = 0，并且无法检测到，不会发生单个位错误，它将继续经历所有周期，其中一个周期都不包含值0。如果周期为n个周期，则如果消息中的位数达到2个位，则不会出错+ CRC <= n。所有CRC多项式都是任意多项式时间（x +1）的乘积，可以检测到任何奇数个误码（因为x +1本质上增加了偶校验）。
将CRC多项式向左移z位意味着每个码字将具有z尾随零位。在某些情况下会这样做。假设您有一个快速的32位CRC算法。若要将该算法用于16位CRC，则将17位CRC多项式向左移16位，以便最低有效非零项为x 16 。使用32位CRC算法进行计算后，会将32位CRC右移16位以产生16位CRC。