给定成对排序矩阵，如何枚举所有可能的总订单

Question

我有一个二维矩阵Pairwise[i][j]，其中[i][j]项是

（a）1，如果第i个元素“小于”第j个元素

（b）0，如果第i个元素“等于”第j个元素，并且

（c）-1，如果第i个元素既不小于也不等于第j个元素。

枚举总排序的所有可能子集的有效方法是什么？

例如，如果[2] [3] = 1，[2] [4] = 1，[4] [3] = 1，那么我想枚举以下内容：

2-> 3

2-> 4

2-> 4-> 3

...等等。

Answer 1

基于来自不同答案的评论流，我提出以下算法：

1. 使用connected components算法基于“平等”关系构造等效类。该算法涉及一个简单的深度优先（或广度优先）搜索，在该搜索中，您仅考虑头小于尾的链接。 （也就是说，如果i -> j，则仅链接i < j。）由于您可能无法保证矩阵是对称的，因此您可能想使用Pairwise[i][j] == 0 || Pairwise[j][j] == 0检查两个方向。每个组件都标有该组件中任何元素的最小索引（通常称为“代表”）。此步骤的输出是从索引到代表的映射，这是一个简单的向量。

2. 通过将两个组件之间的所有“小于”条目折叠成组件之间的单个关系来构造简化图。

3. 通过具有循环检测功能的深度优先扫描 在缩小图上执行transitive closure。 （DFS与topogical sort中的DFS类似。

Answer 2

您的矩阵可以看作是有向图，其中元素i是元素j的直接前身（如果Pairwise[i][j] = 1）。只需运行搜索算法（很可能是深度优先搜索）来枚举所有路径。
忽略-1值，因为它们要么不构成路径，要么表示在其他地方已经具有对应的1值的“大于”关系。
如果您在总顺序中包含相等项（通过将0值视为1来计算），则路径的数量将是无限的，因此也请忽略0。