检测矩阵（二维数组）中的精确块

Question

我正在寻找一种有效的算法来识别具有许多0项的矩阵中的块结构。

例如6×7矩阵

0.0975    0.9575         0         0         0         0         0
0.2785    0.9649         0         0         0         0         0
0.5469    0.1576         0         0         0         0         0
     0         0    0.9706    0.9572         0         0         0
     0         0         0         0    0.8235    0.3171    0.0344
     0         0         0         0    0.6948    0.9502    0.4387

分别由三个大小分别为3×2、1×2和2×3的块组成。

一个块由一组行和一组列定义。块结构的特征在于，不属于块的所有条目都完全为0。但是，这些块中也可能存在完全为0的条目。

一个简单的解决方案是始终将整个矩阵声明为一个块；因此，寻求一种解决方案，以使块内条目的数量尽可能少。

要使事情变得更困难（或可能更容易？），这些块不必是连续的。上述矩阵的排列版本，

     0    0.9572         0         0         0         0    0.9706
     0         0    0.0975         0         0    0.9575         0
0.4387         0         0    0.9502    0.6948         0         0
0.0344         0         0    0.3171    0.8235         0         0
     0         0    0.2785         0         0    0.9649         0
     0         0    0.5469         0         0    0.1576         0

因此也具有三块结构，可以描述为：

• 包含第3、4行和第1、4、5列的块
• 包含第1行和第2、7列的块
• 包含第2、5、6行和第3、6列的块。

我想到的解决方案是：

• 使用基于连接权重的群集算法。但是，矩阵不必是对称的，甚至不必是正方形的。特定的行和特定的列之间没有对应关系。

• 最初将一个块定义为包含一个（非0）条目（由其行和其列描述），在其行和其列中查找非0条目，并添加相应的列和行，迭代地增长，直到没有添加行或列为止；标识一个块。从块中未包含的条目开始执行相同的操作。重复直到没有剩余非0条目为止。在这里，我怀疑这种算法能否有效地扩展到具有许多块的大型矩阵。

我正在寻找一种算法，或者关于算法的其他想法，而不是一种实现。但是，例如欢迎使用Matlab或Python。

Answer 1

这是一般表达分析中的标准方案。

用于此目的的算法称为 biclustering （因为它们同时聚集行和列）。早期的方法归功于Cheng和Church。