给定一个* n大小的多头非循环图，其中每个节点最多有三个子节点和三个父节点，是否存在非指数算法来识别是否存在n长度路径，其中没有两个节点共享相同的值，并且集合中的每个值都被计算在内？
基本上，我有一个n * n迷宫，其中每个空格都有一个随机值（1..n）。我需要找到包含每个值的n个节点的路径（从顶部到底部）。
现在我正在使用深度优先搜索，但这是T(n) = 3T(n-1) + O(1)，这是O(3^n)，这是一个非理想的解决方案。
要么确认我的恐惧，要么指出我正确的方向将非常感激。
编辑：为了使这更具体一点，这里是一个解决方案的迷宫（使用深度优先解决方案解决）。
1 2 5 5 4 1 5 1 3 5 4 1 2 3 2 5 5 4 4 3 4 2 1 2 4 S3, 5, 1, 3, 4, 2, F4 S3, 5, 1, 3, 4, 2, F2 S3, 5, 1, 3, 4, 2, F4 S3, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S3, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S3, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S4, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S4, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S4, 5, 3, 2, 4, 1, F3 S4, 5, 1, 3, 4, 2, F4 S4, 5, 1, 3, 4, 2, F2 S4, 5, 1, 3, 4, 2, F4 S5, 4, 3, 2, 5, 1, F3 13 total paths`
答案 0 :(得分：11)
这个问题是NP完全的，因此不知道是否存在多项式时间解。 （在实践中可能很容易的标准条款，等。，都适用。）可能的减少来自3SAT。
假设我们有一个3SAT实例，例如（a∨b∨c）∧（¬a∨∨b∨c）。我将展示如何使用“小工具”来构建问题实例。在我们开始之前，将3SAT问题重写为（a1∨b1∨c1）∧（¬a2∨b2∨¬c2）以及a1 = a2，b1 = b2和c1 = c2;也就是说，使变量的每次出现都是唯一的，但随后添加同一变量的不同出现必须相等的条件。
首先，我们确保您必须在第一行中选择数字0，以便我们以后可以将其用作您必须避免的“哨兵”。
0 0 0
现在，我们构建了一个强制执行a1 = a2规则的小工具:(每次使用此小工具时，下划线_都是一个新的唯一编号）
0 _ 0
a1 0 ¬a1
a2 0 ¬a2
由于第一行，您必须避免使用0。这意味着你要么采取路径“a1，a2”或路径“¬a1，¬a2”;前者将对应于（稍微容易混淆）将a设置为false，而后者将对应于将a设置为true。这是因为我们的子句小工具非常简单，因为我们只需写下该子句，例如： （再次_这里每次都是一个新变量）：
0 _ 0
a1 b1 b2
或
0 _ 0
¬a1 ¬b1 ¬b2
最后，由于你只使用了a1和¬a1等中的一个，我们让你拍摄你没有自由使用的那些：
0 _ 0
a1 ¬a1 0
现在，这不太有效，因为a1和¬a1中的一个可能已用于变量选择小工具，而另一个可能已在子句中使用。因此，我们为每个子句包含一个新变量@i，而不是其中一个变量。因此，如果变量a1出现在第1条中，我们就有
0 _ 0
a1 ¬a1 @1
这是原始3SAT子句的翻译的完整输出（突出显示对应于将a和b设置为true，c设置为false，并从第一个子句中选择a的路径），左侧是数字，光泽度是对。小工具被重新排序（第一个子句小工具，然后是每个变量，相等的小工具，然后是未使用的小工具），但这无关紧要，因为它们无论如何都是独立的。
0 0 < 0 . . < .
0 8 < 0 . _ < .
2 < 4 6 a1 < b1 c1
0 16 < 0 . _ .
11 13 15 < -a2 -b2 -c2<
0 17 < 0 . _ < .
2 0 3 < a1 . -a1<
10 0 11 < a2 . -a2<
0 18 < 0 . _ < .
2 3 1 < a1 -a1 @1 <
0 19 < 0 . _ .
10 < 11 9 a2 < -a2 @2
0 20 < 0 . _ < .
4 0 5 < b1 . -b1<
12 0 13 < b2 . -b2<
0 21 < 0 . _ < .
4 < 5 1 b1 < -b1 @1
0 22 < 0 . _ < .
12 < 13 9 b2 < -b2 @2
0 23 < 0 . _ < .
6 < 0 7 c1 < . -c1
14 < 0 15 c2 < . -c2
0 24 < 0 . _ < .
6 7 < 1 c1 -c1< @1
0 25 < 0 . _ < .
14 15 9 < c2 -c2 @2 <
（如果你想让整个事物变成正方形，只需在每一行的末尾包含一堆零。）很有趣的是，无论你如何解决这个问题，从本质上讲，你都在解决3SAT问题
在我的帖子的最后是一个匆忙编写的Perl程序，它从表单的输入中生成一个问题
a b c
-a -b -c
结果问题实例中的变量数为11C + V + 1。为程序提供-r开关以产生光泽而不是数字。
# Set useful output defaults
$, = "\t"; $\ = "\n";
# Process readability option and force sentinel
my $r = "0";
if( $ARGV[0] =~ /-r/ ) { shift; $r = "."; }
print $r, $r, $r;
# Clause gadgets
my( %v, %c, $m, $c );
$m = 1;
while( <> ) {
my( @v, @m );
$c = $m++;
chomp; @v = split;
for my $v ( @v ) {
push @{$v{strip($v)}}, -1; # hack, argh!
push @m, ($r ? $v.@{$v{strip($v)}} : $m + neg($v));
$c{($r ? (strip($v).@{$v{strip($v)}}) : $m)} = $c;
$v{strip($v)}->[-1] = ($r ? (strip($v).@{$v{strip($v)}}) : $m);
$m += 2 unless $r;
}
print $r, newv(), $r;
print @m;
}
# Variable gadget
for my $v ( sort keys %v ) {
# Force equal
print $r, newv(), $r;
for my $n ( @{$v{$v}} ) {
print $n, $r, ($r ? "-".$n : $n+1);
}
# Unused
for my $n ( @{$v{$v}} ) {
print $r, newv(), $r;
print $n, ($r ? "-".$n : $n+1), ($r ? "\@".$c{$n} : $c{$n});
}
}
# Strip leading -
sub strip {
my( $v ) = @_;
return substr $v, neg($v);
}
# Is this variable negative?
sub neg {
my( $v ) = @_;
return "-" eq substr( $v, 0, 1 );
}
# New, unused variable
sub newv {
return "_" if $r;
return $m++;
}
答案 1 :(得分：5)
我很确定这可以在多项式时间内完成。我将从一个空集开始，然后从上到下循环遍历行。我将跳过任何类型的代码，并向您展示状态在每个步骤中应该能够从那里组合算法的样子。我非常确定最好的情况比O（n ^ 2）略差，使用广度优先搜索的变化并跟踪表格中当前的好路径。
编辑：如果这仍然不够快，您可以通过应用Harlequin's optimization来改进它。
例如：
1 2 3
3 2 1
1 2 1
状态0： R = 0 //行 P = {} //路径集
// {{Path so far}, Column}
P' = {
{{1}, 0}
{{2}, 1}
{{3}, 2}
}
P = P'
州1： R = 1 //行 P = { {{1}，0} {{2}，1} {{3}，2} }
P' = {
{{1 3}, 0}
{{1 2}, 1}
{{2 3}, 0}
{{2 1}, 2}
{{3 2}, 1}
{{3 1}, 2}
}
州2： R = 2 P = { {{1 3}，0} {{1 2}，1} {{2 3}，0} {{2 1}，2} {{3 2}，1} {{3 1}，2} }
P' = {
{{1 3 2}, 1}
{{2 3 1}, 0}
{{3 2 1}, 0}
{{3 2 1}, 2}
{{3 1 2}, 1}
}
结果：
路径数：5
S1 1 3 2 F2
S2 2 3 1 F1
S3 3 2 1 F1
S3 3 2 1 F3
S3 3 1 2 F2
答案 2 :(得分：3)
您可以尝试ant colony optimization。它很快就会产生非常好的结果，非常接近完美的解决方案。
答案 3 :(得分：1)
Kevin Loney's solution的一个优化可能是合并在同一列包含相同元素的部分路径。如果你想知道最后的解决方案的数量，你必须注意与路径的合并次数。
示例：在您的5x5示例中，当您到达第三行时，第三列有三条通向它的路径，它们按某种顺序包含（1 2 5）。从这一点开始，您不必单独遵循这些，但可以合并它们。如果您想知道最后的解决方案数量，您只需调整路径数据结构，例如三（1（1 2 5））将合并为（3（1 2 5））。
答案 4 :(得分：0)
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