Question

感谢您抽出宝贵的时间阅读本文，非常感谢。

我的问题涉及如何确保商环内的多项式具有以下属性：

(x^2)k = 0

其中，x是商环中的任何变量，k是正整数。

这是我尝试解决此问题的方法：我创建了一个多项式环

P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')

由于我不在商环内工作，因此x ^ 2（或其他三个变量中的任何一个）不会“变为”0。由于我希望x ^ 2 = 0的属性，所以我决定创建一个带有某些场方程的商环：

Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))

由此q = P.base_ring.order()。但是，当我随后创建以下多项式时，其父代仍为P，因此我更改了其环：

f1 = y*z + y*w + w^2
f1 = f1.change_ring(Q)

但是，当我打印f1时，w ^ 2仍然是w ^ 2，并且没有减小到0。我想知道我是否缺少某些东西？这很烦人，因为我将要与Macaulay矩阵一起工作，因此，在商圈内工作非常重要。也许我错过了一些数学知识，因为这对我来说是非常新的……

这是我的圣人输入：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: f1
y*z + y*w + w^2
sage: f1 = f1.change_ring(Q)
sage: f1
y*z + y*w + w^2

将如何确保w ^ 2 = 0？在创建商环并随后更改其环时，我已经尝试过将原始多项式添加到场方程中，如下所示：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([f1] + [var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = f1.change_ring(Q)
sage: f1
y*z + y*w + w^2

但是如您所见，什么也没发生... 谢谢！

Answer 1

您应该执行f1 = change_ring(Q)而不是f1 = Q(f1)。 change_ring仅影响系数，而不影响不确定的元素，而Q(f1)强制多项式f1驻留在Q中，将每个变量转换为Q中的图像。例如：

sage: P.<x,y,z,w> = PolynomialRing(GF(2), 4, order = 'degrevlex')
sage: q = P.base_ring().order()
sage: Q = P.quotient_ring(ideal([var**q - var for var in P.gens()]))
sage: f1 = y*z + y*w + w^2
sage: f1
y*z + y*w + w^2
sage: f1.change_ring(Q)
y*z + y*w + w^2
sage: Q(f1)
ybar*zbar + ybar*wbar + wbar

附加了bar的变量是Q中的图像。

定义Q后的另一个选项：

sage: x,y,z,w = Q.gens()
sage: f1 = y*z + y*w + w^2 # now living in Q, since x,y,z,w are in Q
sage: f1
ybar*zbar + ybar*wbar + wbar

顺便说一句，如果您希望w^2为零，则不应该施加关系w**2而不是w**2 - w吗？

SageMath：商环减少（x ^ 2-x = 0）

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