将Neumann边界条件应用于扩散方程

Question

我为扩散方程du / dt = D（d ^ 2 u / dx ^ 2）+ Cu绘制了数值解代码，其中u是x和t的函数-我已经解决了它数值计算并用direchtlet边界条件u（-L / 2，t）= u（L / 2，t）= 0绘制，临界长度是函数爆炸前的值，我已经得出成为pi。我正在尝试将正确的边界条件更改为Neumann边界条件u_x（L / 2）= 0，这应减小临界长度并导致函数呈指数增加，但是我不太确定该怎么做我的工作似乎不太正确-有人可以看看他们是否能确定我哪里出问题了吗？谢谢！

L=np.pi # value chosen for the critical length
s=101 # number of steps in x
t=10002 # number of timesteps
ds=L/(s-1) # step in x
dt=0.0001 # time step
D=1 # diffusion constant, set equal to 1
C=1 # creation rate of neutrons, set equal to 1
Alpha=(D*dt)/(ds*ds) # constant for diffusion term
Beta=C*dt # constant for u term

x = np.linspace(-L/2, 0, num=51)
x = np.concatenate([x, np.linspace(x[-1] - x[-2], L/2, num=50)]) # setting x in the specified interval

u=np.zeros(shape=(s,t))
u[50,0]=1/ds # delta function
for k in range(0,t-1):
    u[0,k]=0 #direchtlet boundary condition
    for i in range(1,s-1):
        u[i,k+1]=(1+Beta-2*Alpha)*u[i,k]+Alpha*u[i+1,k]+Alpha*u[i-1,k] # numerical solution 
    u[s-1,k+1]=u[s-2,k+1] # neumann boundary condition
    if k == 50 or k == 100 or k == 250 or k == 500 or k == 1000 or k == 10000: # plotting at times
        plt.plot(x,u[:,k])

plt.show()

Answer 1

首先，您需要在时间循环的开始和当前时间步分别应用 左右边界条件（而不是像在右边那样在k+1上）公元前）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
L=np.pi # value chosen for the critical length
s=101 # number of steps in x
t=10002 # number of timesteps
ds=L/(s-1) # step in x
dt=0.0001 # time step
D=1 # diffusion constant, set equal to 1
C=1 # creation rate of neutrons, set equal to 1
Alpha=(D*dt)/(ds*ds) # constant for diffusion term
Beta=C*dt # constant for u term

x = np.linspace(-L/2, 0, num=51)
x = np.concatenate([x, np.linspace(x[-1] - x[-2], L/2, num=50)]) # setting x in the specified interval

u=np.zeros(shape=(s,t))
u[50,0]=1/ds # delta function
for k in range(0,t-1):
    u[0,k] = 0 # left direchtlet boundary condition
    u[s-1,k] = 0 # right dirichlet boundary condition

    for i in range(1,s-1):
        u[i,k+1]=(1+Beta-2*Alpha)*u[i,k]+Alpha*u[i+1,k]+Alpha*u[i-1,k] # numerical solution 
    if k == 50 or k == 100 or k == 250 or k == 500 or k == 1000 or k == 10000: # plotting at times
        plt.plot(x,u[:,k])

plt.savefig('test1.png')
plt.close()

对于狄利克莱特BC，您可以获得： （可能与以前相同，因为对于扩散问题，它不会产生太大的变化，但是无论如何都是不正确的）。然后，您可以更改Von-Neumann BC的右边界条件

u[s-1,k] = u[s-3,k] # right von-neumann boundary condition

因为我看到您使用的是中心差分方案，所以Von-Neumann BC指出边界处du / dx = 0。使用右边界处的中心差分方案离散该导数为(u[s-1,k]-u[s-3,k])/dx = 0，因此u[s-1,k]=u[s-3,k]。有了这个改变，你得到