三次样条插值与多项式插值

Question

我被要求研究使用Matlab进行插值的不同类型，主要包括以下几点：

x = [32 34 35 36 37 38]
y = [26 28 31 30 29 25]

并找到f(33)，f(33.5)和f(35)的值。

在绘制x和y时，我看到f(33)应该在27左右，这也是我使用interp1(x,y,33)得到的。

我不确定这是否是使用三次样条插值函数的正确方法，但是我使用了spline(x,y,33)并得到了ans = 24.3906。

无论我使用哪种插值方式，f(33)的值仍然都不会相同？

Answer 1

想将此添加到我赞成的@hazeiio的answer中。您可以看到这很好地说明了他的观点。

插值方法极大地影响了数据点之间获得的值（请参见下图）。您会发现盲目调用插值方法而不检查是否可能出问题是很危险的。

% MATLAB R2017a
x = [32 34 35 36 37 38];
y = [26 28 31 30 29 25];  

xTgts = [33 33.5 35 37.25 37.5 37.75];

% Interpolation between data points depends on method
Linear = interp1(x,y,xTgts)
Spline = interp1(x,y,xTgts,'spline')    % Equivalent to spline(x,y,xTgts) yet faster somehow
Cubic = interp1(x,y,xTgts,'pchip')

如前所述，它们将完全匹配数据（请参见下图）。

% Interpolation of data points will match
Linear = interp1(x,y,x)
Spline = interp1(x,y,x,'spline')    
Cubic = interp1(x,y,x,'pchip')

---

说明代码

step = 0.01;
xTest = (32:step:38)';

figure, hold on, box on
p(1) = plot(x,y,'ks','DisplayName','Data')
p(2) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest),'b-','DisplayName','Linear')
p(3) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest,'spline'),'r-','DisplayName','Spline')
p(4) = plot(xTest,interp1(x,y,xTest,'pchip'),'g-','DisplayName','Cubic')
legend('show')

% Options
xlabel('X')
ylabel('Y')
title('Interpolation Example')
for k = 1:4, p(k).LineWidth = 2; end
axis equal
xlim([31 39])
ylim([24 32])

---

参考：
Interpolation (wiki)

Answer 2

插值可确保在您提供的点上，插值函数的值与原始函数的值相同。查看您的代码，这意味着f(35)将相同，并且每种插值方法均等于31。

但是，根据插值方法的不同，每个连续方法之间的曲线都会变化，因此可以得到不同的值。