Question

背景

当我偶然发现gcc主干（将是9.x版）中进行了一项新的优化时，我正在用c中的质数进行运算，该优化将模数比较值优化为0为整数乘和使用幻数进行比较。换句话说，x%prime==0变成x*Magic_mul<=Magic_cmp

_Bool mod(unsigned x){return x % Constant == 0;}

mod:
  imul edi, edi, Magic_mul
  cmp edi, Magic_cmp
  setbe al

详细信息

基于看到的asm输出，它对所有整数（至少是素数）进行了这些优化，我将它们转换为十六进制以帮助查看模式，但目前还不是很明显。

//32bit examples for _Bool mod_n(unsigned x){return x%n==0;};
//note: parameter is unsigned but it becomes a signed multiply
x%3==0;  // x*0xAAAAAAAB <= 0x55555555
x%5==0;  // x*0xCCCCCCCD <= 0x33333333
x%7==0;  // x*0xB6DB6DB7 <= 0x24924924
x%11==0; // x*0xBA2E8BA3 <= 0x1745D174
x%13==0; // x*0xC4EC4EC5 <= 0x13B13B13
x%17==0; // x*0xF0F0F0F1 <= 0x0F0F0F0F
x%19==0; // x*0x286BCA1B <= 0x0D79435E
x%23==0; // x*0xE9BD37A7 <= 0x0B21642C
x%29==0; // x*0x4F72C235 <= 0x08D3DCB0
x%31==0; // x*0xBDEF7BDF <= 0x08421084
x%37==0; // x*0x914C1BAD <= 0x06EB3E45
x%41==0; // x*0xC18F9C19 <= 0x063E7063
x%43==0; // x*0x2FA0BE83 <= 0x05F417D0
x%47==0; // x*0x677D46CF <= 0x0572620A
x%53==0; // x*0x8C13521D <= 0x04D4873E
x%59==0; // x*0xA08AD8F3 <= 0x0456C797
x%61==0; // x*0xC10C9715 <= 0x04325C53
x%67==0; // x*0x07A44C6B <= 0x03D22635
x%71==0; // x*0xE327A977 <= 0x039B0AD1
x%73==0; // x*0xC7E3F1F9 <= 0x0381C0E0
x%79==0; // x*0x613716AF <= 0x033D91D2
x%83==0; // x*0x2B2E43DB <= 0x03159721
x%89==0; // x*0xFA3F47E9 <= 0x02E05C0B
x%97==0; // x*0x5F02A3A1 <= 0x02A3A0FD
///...and even up to 64bit
x%4294967291==0; //x*0x70A3D70A33333333 <= 0x100000005

我检查了hacker's delight "INTEGER DIVISION BY CONSTANTS"，这似乎是乘和右移余数的特殊情况，但我不确定。有一个form on hacker's delight用于计算这些相同的乘数常量，因此这似乎很有希望。我猜想魔术比较常数替代了移位并将其与零进行比较，但是我在可视化2s补码以及移位是算术还是逻辑上遇到了麻烦。

问题

这背后是否存在一些数学运算或使用二进制表示以其他方式确定了数字？

含义

由于这是简单的整数乘法和比较，因此可以使用矢量扩展/本征极大地加快（或减少内存的）检查质数的速度。如果算术可以扩展到64位以上，那么它可能会使查找大的Big-Number质数更快吗？

Answer 1

以3为例。

0xAB * 3 = 0x201，因此，模0x100、0xAB为1/3，反之为0xAB * 3≡1。

任何8位无符号整数n都可以表示为n = 3 * k + r，r <3，并且n最多为0x55（十进制85，255 / 3的整数部分）。

所以我们有选择：

r = 0⇒n * 0xAB = 3k * 0xAB = k *（3 * 0xAB）≡k * 1 = k≤0x55。
r = 1⇒n * 0xAB = 3k * 0xAB + 0xAB;由于3k * 0xAB最多为0x55（mod 0x100），将其添加到0xAB不会溢出，因此3k * 0xAB + 0xAB≥0xAB> 0x55。
r = 2⇒n * 0xAB = 3k * 0xAB + 0x156≡3k * 0xAB + 0x56≥0x56> 0x55（与2相同）

gcc9 +模数优化背后的数学

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