为什么归一化向量的点积始终为数据大小-1

Question

我不明白为什么归一化向量的点积始终为数据大小-1。

a <- scale(rnorm(100))
crossprod(a)
# equal = 100 - 1 = 99

b <- scale(runif(50))
crossprod(b)
# equal = 50 - 1 = 49

c <- scale(rchisq(30, 5))
crossprod(c)
# equal = 30 - 1 = 29

我想了解数学知识。

Answer 1

不在LaTex中，但是证明可以帮助您理解：

您的值按比例缩放，因此：[x_i-mean（X）] / sd（X）。

Crossprod会求出x_i = Sum_i（[x_i-mean（X）]）^ 2的平方和

方差（sd的平方）：var（X）= sd ^ 2（X）= 1 /（n-1）* Sum_i（[x_i-mean（X）]）^ 2

交叉pros = Sum_i（[x_i-mean（X）] / sd（X））^ 2）= 1 / sd（X）^ 2 * Sum_i（[x_i-mean（X）] ^ 2）= 1 / （1 /（n-1））= n-1