Eratosthenes理解筛网

Question

我有一段不太了解的代码，因为我一周前才开始学习Python。

import numpy as np
import time

start_time=time.clock()

def Sieb(n):                           #Sieve
    Eins = np.ones(n, dtype=bool)      #Eins is just german for One
    Eins[0] = Eins[1] = False          #->I don't quite understand what
    for i in range(2, n):              #this one does.
        if Eins[i]:
            Eins[i*i::i] = False       #Does this make the ones = zero?
    return np.flatnonzero(Eins)


print Sieb(1000000)
print start_time

所以，我了解筛子的概念（我想），但是我不确定在这里如何实现。 自身的倍数在哪里0，np.flatnonzero如何得出质数，因为在此之前它们分别是1和0？

希望您能理解并帮助我。 ：）

Answer 1

让我们逐步进行。

Eins = np.ones(n, dtype=bool)

这将创建一个大小为 n 的新数组，类型为bool，并且全为1。由于类型的原因，“一个”表示True。该数组表示我们要测试其素数的所有数字，其中True表示该数字是质数，False表示不是。因此，我们从标记为（潜在）素数的所有数字开始。

Eins[0] = Eins[1] = False

现在我们将第0和第1个元素设置为False：0和1都不是素数。

for i in range(2, n):

接下来，我们将迭代所有剩余的数字（从2开始）。我们只需要上到 n 的平方根就可以逃脱，但是为了简单起见，我们遍历了所有数字。

    if Eins[i]:

如果数组的第i个值为True，则意味着i是质数。第一次输入此条件是使用i=2。接下来，我们要从主要候选人中删除所有数字的倍数：

        Eins[i*i::i] = False

从Eins[2*i::i] = False开始，我们可以将这行读为i*i，这只是一个优化¹。如果2是质数，则表示2 * 2、3 * 2、4 * 2 ...不是，因此我们将倍数设置为False。索引符号表示“从i*i到结尾”（由冒号之间的空白表示）“，以i的步长”。该语句产生数字i*i，i*(i+1)，i*(i+2)，...，因此i的所有倍数尚未标记为“不是质数”。

return np.flatnonzero(Eins)

这只是返回所有值为True的索引，即找到的所有素数。

---

1：关于i*i的一句话：我们可以从i的平方开始，因为任何数字j*i（对于j < i）已经被标记为非质数当我们在j时。

---

这是一个对n=15有效的演示：

我们从填充.ones的数组开始：

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
[T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T]

然后我们清空Eins[0]和Eins[1]：

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
[F, F, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T]

现在我们从i=2开始遍历整个范围，并从2*2=4开始删除2的每一个倍数：

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
[F, F, T, T, F, T, F, T, F, T, F, T, F, T, F]

i=3，从3*3=9开始删除3的倍数：

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
[F, F, T, T, F, T, F, T, F, F, F, T, F, T, F]

请注意，我们不必删除6，因为i=2已经删除了它。

在i=4时，由于Eins[i]为False，因此我们跳过了删除操作。从i=5开始，什么都没有发生，因为正方形（25，36，...）比数组大。最后，我们使用flatnonzero并获取所有值为True的索引：

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
[F, F, T, T, F, T, F, T, F, F, F, T, F, T, F]
       2  3     5     7          11    13