在立体模式下定义非一元函数

Question

我想在Cubical模式下定义一个具有两个更高归纳类型的参数的函数。我使用the cubical package作为我的“前奏”库。

我首先将整数的商类型定义为HIT：

{-# OPTIONS --cubical #-}
module _ where

open import Data.Nat renaming (_+_ to _+̂_)
open import Cubical.Core.Prelude

data ℤ : Set where
  _-_ : (x : ℕ) → (y : ℕ) → ℤ
  quot : ∀ {x y x′ y′} → (x ℕ+ y′) ≡ (x′ ℕ+ y) → (x - y) ≡ (x′ - y′)

然后我可以使用模式匹配来定义一元函数：

_+1 : ℤ → ℤ
(x - y) +1 = suc x - y
quot {x} {y} prf i +1 = quot {suc x} {y} (cong suc prf) i

到目前为止，太好了。但是，如果我想定义一个二进制函数（例如加法）怎么办？

首先，让我们摆脱无聊的算术证明：

import Data.Nat.Properties
open Data.Nat.Properties.SemiringSolver
  using (prove; solve; _:=_; con; var; _:+_; _:*_; :-_; _:-_)

open import Relation.Binary.PropositionalEquality renaming (refl to prefl; _≡_ to _=̂_) using ()
fromPropEq : ∀ {ℓ A} {x y : A} → _=̂_ {ℓ} {A} x y → x ≡ y
fromPropEq prefl = refl

open import Function using (_$_)

reorder :  ∀ x y a b → (x +̂ a) +̂ (y +̂ b) ≡ (x +̂ y) +̂ (a +̂ b)
reorder x y a b = fromPropEq $ solve 4 (λ x y a b → (x :+ a) :+ (y :+ b) := (x :+ y) :+ (a :+ b)) prefl x y a b

inner-lemma : ∀ x y a b a′ b′ → a +̂ b′ ≡ a′ +̂ b → (x +̂ a) +̂ (y +̂ b′) ≡ (x +̂ a′) +̂ (y +̂ b)
inner-lemma x y a b a′ b′ prf = begin
  (x +̂ a) +̂ (y +̂ b′)   ≡⟨ reorder x y a b′ ⟩
  (x +̂ y) +̂ (a +̂ b′)   ≡⟨ cong (x +̂ y +̂_) prf ⟩
  (x +̂ y) +̂ (a′ +̂ b)   ≡⟨ sym (reorder x y a′ b) ⟩
  (x +̂ a′) +̂ (y +̂ b)   ∎

outer-lemma : ∀ x y x′ y′ a b  → x +̂ y′ ≡ x′ +̂ y → (x +̂ a) +̂ (y′ +̂ b) ≡ (x′ +̂ a) +̂ (y +̂ b)
outer-lemma x y x′ y′ a b prf = begin
  (x +̂ a) +̂ (y′ +̂ b)   ≡⟨ reorder x y′ a b ⟩
  (x +̂ y′) +̂ (a +̂ b)   ≡⟨ cong (_+̂ (a +̂ b)) prf ⟩
  (x′ +̂ y) +̂ (a +̂ b)   ≡⟨ sym (reorder x′ y a b) ⟩
  (x′ +̂ a) +̂ (y +̂ b)   ∎

我现在尝试使用模式匹配来定义_+_，但是我不知道如何处理“面部中心点”，可以这么说：

_+_ : ℤ → ℤ → ℤ
(x - y) + (a - b) = (x +̂ a) - (y +̂ b)
(x - y) + quot {a} {b} {a′} {b′} eq₂ j = quot {x +̂ a} {y +̂ b} {x +̂ a′} {y +̂ b′} (inner-lemma x y a b a′ b′ eq₂) j
quot {x} {y} {x′} {y′} eq₁ i + (a - b) = quot {x +̂ a} {y +̂ b} {x′ +̂ a} {y′ +̂ b} (outer-lemma x y x′ y′ a b eq₁) i
quot {x} {y} {x′} {y′} eq₁ i + quot {a} {b} {a′} {b′} eq₂ j = ?

所以基本上我有以下情况：

                 p   Xᵢ
         X  ---------+---> X′

                 p₀  i
   A     X+A --------\---> X′+A
   |     |           |
  q|  q₀ |           | qᵢ
   |     |           |
Aⱼ +    j+          [+]  <--- This is where we want to get to!
   |     |           |
   V     V       p₁  |
   A′    X+A′ -------/---> X′+A′
                     i

使用

X = (x - y)
X′ = (x′ - y′)
A = (a - b)
A′ = (a′ - b′)

p : X ≡ X′
p = quot eq₁

q : A ≡ A′
q = quot eq₂

p₀ : X + A ≡ X′ + A
p₀ = quot (outer-lemma x y x′ y′ a b eq₁)

p₁ : X + A′ ≡ X′ + A′
p₁ = quot (outer-lemma x y x′ y′ a′ b′ eq₁)

q₀ : X + A ≡ X + A′
q₀ = quot (inner-lemma x y a b a′ b′ eq₂)

q₁ : X′ + A ≡ X′ + A′
q₁ = quot (inner-lemma x′ y′ a b a′ b′ eq₂)

我正在使用this construction将q₀水平推出i：

slidingLid : ∀ {ℓ} {A : Set ℓ} {a b c d} (p₀ : a ≡ b) (p₁ : c ≡ d) (q : a ≡ c) → ∀ i → p₀ i ≡ p₁ i
slidingLid p₀ p₁ q i j = comp (λ _ → A)
  (λ{ k (i = i0) → q j
    ; k (j = i0) → p₀ (i ∧ k)
    ; k (j = i1) → p₁ (i ∧ k)
    })
  (inc (q j))

并以此为依据，我对+的尝试如下：

quot {x} {y} {x′} {y′} eq₁ i + quot {a} {b} {a′} {b′} eq₂ j = Xᵢ+Aⱼ
  where    
    X = (x - y)
    X′ = (x′ - y′)
    A = (a - b)
    A′ = (a′ - b′)

    p : X ≡ X′
    p = quot eq₁

    q : A ≡ A′
    q = quot eq₂

    p₀ : X + A ≡ X′ + A
    p₀ = quot (outer-lemma x y x′ y′ a b eq₁)

    p₁ : X + A′ ≡ X′ + A′
    p₁ = quot (outer-lemma x y x′ y′ a′ b′ eq₁)

    q₀ : X + A ≡ X + A′
    q₀ = quot (inner-lemma x y a b a′ b′ eq₂)

    qᵢ : ∀ i → p₀ i ≡ p₁ i
    qᵢ = slidingLid p₀ p₁ q₀

    q₁ : X′ + A ≡ X′ + A′
    q₁ = quot (inner-lemma x′ y′ a b a′ b′ eq₂)

    Xᵢ+Aⱼ = qᵢ i j

但这失败，并出现以下类型错误：

quot (inner-lemma x′ y′ a b a′ b′ eq₂) j !=
hcomp
(λ { i ((~ i1 ∨ ~ j ∨ j) = i1)
       → transp (λ j₁ → ℤ) i
         ((λ { i₁ (i1 = i0) → q₀ eq₁ i1 eq₂ j j
             ; i₁ (j = i0) → p₀ eq₁ i1 eq₂ j (i1 ∧ i₁)
             ; i₁ (j = i1) → p₁ eq₁ i1 eq₂ j (i1 ∧ i₁)
             })
          (i ∨ i0) _)
   })
(transp (λ _ → ℤ) i0 (ouc (inc (q₀ eq₁ i1 eq₂ j j))))
of type ℤ

一个提示可能是出问题的是，尽管这三个方面都退化得很好：

top : ∀ i → qᵢ i i0 ≡ p i + q i0
top i = refl

bottom : ∀ i → qᵢ i i1 ≡ p i + q i1
bottom i = refl

left : qᵢ i0 ≡ q₀
left = refl

最右侧不：

right : qᵢ i1 ≡ q₁
right = ? -- refl fails here

我猜是因为qᵢ是从左侧拉出的，所以右侧和全推式qᵢ之间仍然可能有一个孔，即仍然可以，在O和qᵢ i1之间的q₁处有一个孔：

                 p₀
      X+A ------------> X′+A
       |               /|
    q₀ |              / | q₁
       |             |  |
       |             | O|
       |              \ |
       V         p₁    \|
      X+A′ -----------> X′+A′

并具有直觉上的意义，因为q₁是关于自然数的一些代数陈述，而qᵢ i1是关于不同自然数的不同代数陈述的连续变形版本，因此仍然必须两者之间建立了某种联系；但我不知道从哪里开始建立该连接（即在qᵢ i1和q₁之间显式构造2路径）

Answer 1

事实证明，通过我一直在尝试的形式化，确实有 在qᵢ i1和q₁之间出现漏洞的可能性。当我回到the HoTT book尝试对所有商类型（而不只是特定的ℤ类型）进行抽象解决时，解决方案就让我震惊。引用6.10节：

  

我们也可以直接描述为高感性A / R型   由

生成      

  

• 函数q : A → A/R;

  

• 对于每个a, b : A，使得R(a, b)等于q(a) = q(b)；和

  

• 0截断构造函数：对于所有x, y : A/R和r,s : x = y，我们都有r = s。

  

所以我所缺少的是第三点：缺少高级类型的结构是需要明确建模的东西。

使用此信息，我在ℤ中添加了第三个构造函数：

Same : ℕ → ℕ → ℕ → ℕ → Set
Same x y x′ y′ = x +̂ y′ ≡ x′ +̂ y

data ℤ : Set where
  _-_ : (x : ℕ) → (y : ℕ) → ℤ
  quot : ∀ {x y x′ y′} → Same x y x′ y′ → (x - y) ≡ (x′ - y′)
  trunc : {x y : ℤ} → (p q : x ≡ y) → p ≡ q

这使我可以证明right（因此，surface）没有更多问题。一个小小的毛病是，尝试使用模式匹配会导致一些奇怪的“功能不健全”错误，因此我最终通过以下显式消除器进行了操作：

module ℤElim {ℓ} {P : ℤ → Set ℓ}
  (point* : ∀ x y → P (x - y))
  (quot* : ∀ {x y x′ y′} same → PathP (λ i → P (quot {x} {y} {x′} {y′} same i)) (point* x y) (point* x′ y′))
  (trunc* : ∀ {x y} {p q : x ≡ y} → ∀ {fx : P x} {fy : P y} (eq₁ : PathP (λ i → P (p i)) fx fy) (eq₂ : PathP (λ i → P (q i)) fx fy) → PathP (λ i → PathP (λ j → P (trunc p q i j)) fx fy) eq₁ eq₂)
  where

  ℤ-elim : ∀ x → P x
  ℤ-elim (x - y) = point* x y
  ℤ-elim (quot p i) = quot* p i
  ℤ-elim (trunc p q i j) = trunc* (cong ℤ-elim p) (cong ℤ-elim q) i j

，以供参考，使用_+_的{​​{1}}的完整实现：​​

ℤ-elim

Answer 2

这是部分答案，希望它能引诱某人解决此难题的下一部分。

因此，我设法证明right，并以此证明从left到right有连续的表面：

right : qᵢ i1 ≡ q₁
right i = comp
  (λ j → p j + A ≡ p j + A′)
  (λ { j (i = i0) → qᵢ j
     ; j (i = i1) → cong (λ ξ → quot {x} {y} {x′} {y′} eq₁ j + ξ) q
     }
  (inc (left i))

surface : PathP (λ i → p₀ i ≡ p₁ i) q₀ q₁
surface i = comp (λ j → p₀ i ≡ p₁ i)
  (λ { j (i = i0) → q₀
     ; j (i = i1) → right j
     })
  (inc (qᵢ i))

Xᵢ+Aⱼ = surface i j

此Xᵢ+Aⱼ定义通过了类型检查器，但在终止检查期间失败。基本上，所有_+_的出现都标记为有问题；尤其是right定义中的那些：p j + A和p j + A′调用，以及cong (λ ξ → quot {x} {y} {x′} {y′} eq₁ j + ξ) q中的全等函数。

前两个对我来说意义不大：我已经为中点+点和点+点的情况定义了_+-，在p j + A和{{1 }}很明显。

第三个，我正在寻找建议。