Question

给出长度为 n （<= 500000）的数组 A 。

A [ i ] <= 10 ^ 9。

有两种类型的 q （<= 50000）条查询：

给出 l r -查找在[ l ， r < / strong>]-Mex-（https://en.wikipedia.org/wiki/Mex_(mathematics)）。

给出 i x -将 A [ i ]的值更改为 x 。

用于查询的原始O（ n ）和用于更新的O（1）太慢-通常为O（ n ^ 2）。

您能否提出有效的算法/数据结构来解决此问题？

Answer 1

您可以使用段树，数据结构和复杂度将为O(nlogn + qlogn)。如果您不熟悉Segment tree，则最好收集有关它的知识。您会在网上找到很多有关它的资源。

在段树中，通常每个节点都保留有关特定范围的信息。通常，叶节点保留有关特定数组索引的信息，内部节点从其左，右子节点生成或更新信息。

请考虑以下情况，以找出A范围内[l, r]中未出现的最小正整数：

对于{2,3}，答案为1（1是最小的正整数）。
对于{1,2}的答案是3
对于{1,4,2}的答案是3

对于答案为1的情况：

如果该范围内的最小值大于1，则答案为1。为此，构建一个段以查找该特定范围内的最小值。参见下图：

从上图可以看出，叶节点保存了特定的数组索引值，内部节点从其左右子值（min(left child's min value, right child's min value)）更新其值。从该细分中，我们可以找到O(logn)中任何范围的最小值。如果任何数组索引值发生变化，我们可以在O(logn)中更新树。

对于答案为（范围的最大值）+1的情况：

为此，构建一个细分以查找在此特定范围内的最大值。它类似于上面的段树，我们不会找到最小值，而是找到最大值。

对于答案既不是1也不是（范围的最大值）+1的情况：

在这种情况下，我们将需要一个细分树，该树将给出最小的缺失正值，该缺失值大于范围[l,r]的最小值且小于范围[l,r]的最大值。我们将使用值0表示此范围[l,r]中没有缺失值。对于叶节点，我们将缺失值设置为0。现在我们将如何计算内部节点的缺失值。假设对于内部节点P，我们将计算缺失值。 P的左孩子L和右孩子R。 P的缺失值将使用以下过程进行计算：

P.Missing_Value = infinite value
// for the case L = {1,2} , R = {4,5}
if L.Max_Value+1 < R.Min_Value {
  P.Missing_Value = min(P.Missing_Value, L.Max_Value + 1)
}

// for the case L = {4,5} , R = {1,2}
if R.Max_Value+1 < L.Min_Value {
  P.Missing_Value = min(P.Missing_Value, R.Max_Value + 1)
}

// for the case L = {1,3} , R = {1,3,4,5} or L = {1,3} , R = {4,5} or L = {3,5} , R = {1,2}
if L.Missing_Value != 0 && (L.Missing_Value < R.Min_Value || L.Missing_Value > R.Max_Value || L.Missing_Value == R.Missing_Value) {
  P.Missing_Value = min(P.Missing_Value, L.Missing_Value)
}

// for the case R = {1,3} , L = {1,3,4,5} or R = {1,3} , L = {4,5} or R = {3,5} , L = {1,2}
if R.Missing_Value != 0 && (R.Missing_Value < L.Min_Value || R.Missing_Value > L.Max_Value || R.Missing_Value == L.Missing_Value) {
  P.Missing_Value = min(P.Missing_Value, R.Missing_Value)
}

// if there is no missing value
if P.Missing_Value == infinite {
  P.Missing_Value = 0
}

完成

首先检查ans是否可以为1。
如果ans不能为1，则检查缺失值。
如果找不到缺失值，则ans将为最大值+1。

上述树将成为您的最终细分树。从中可以查询任何范围的最小值，最大值和缺失值。这些查询和更新（如果数组索引值更改）将花费O(logn)。

有关分段树的一些教程/资源：

带有更新的MEX查询

1 个答案: