Question

获得这个的一种方法是自然数（1，..， n ）我们将每个数据分解并查看它们是否有任何重复的素数因子，但这需要花费大量时间大 n 。那么有没有更好的方法从1，..， n 获得无方形数字？

Answer 1

您可以使用Eratosthenes Sieve的修改版本：

拿一个bool数组1 .. n ;

预先计算所有小于n的正方形;那是O（sqrt（N））;

对于每个方块及其倍数，使bool数组条目为false ...

Answer 2

最让人想到的是将素数列为n并最多选择其中一个。这对大n来说并不容易（例如here's one algorithm），但我不确定这个问题是不是。

Answer 3

来自http://mathworld.wolfram.com/Squarefree.html

没有已知的多项式时间识别squarefree的算法整数或计算 squarefree整数的一部分。在事实上，这个问题可能并不容易比整数的一般问题分解（显然，如果是整数可以完全考虑，如果它包含no，则为squarefree 重复的因素）。这个问题是一个重要的未解决的问题数论因为计算代数的整数环数字字段可以简化为计算整数的squarefree部分（Lenstra 1992，Pohst和Zassenhaus 1997年）。

Answer 4

一种方法是使用筛子，类似于Eratosthenes'。

@Will_Ness在Python中编写了一个“快速”主筛，如下所示。

from itertools import count
                                         # ideone.com/
def postponed_sieve():                   # postponed sieve, by Will Ness      
    yield 2; yield 3; yield 5; yield 7;  # original code David Eppstein, 
    sieve = {}                           # Alex Martelli, ActiveState Recipe 2002
    ps = postponed_sieve()               # a separate base Primes Supply:
    p = next(ps) and next(ps)            # (3) a Prime to add to dict
    q = p*p                              # (9) its sQuare 
    for c in count(9,2):                 # the Candidate
        if c in sieve:               # c's a multiple of some base prime
            s = sieve.pop(c)         #     i.e. a composite ; or
        elif c < q:  
            yield c                  # a prime
            continue              
        else:   # (c==q):            # or the next base prime's square:
            s=count(q+2*p,2*p)       #    (9+6, by 6 : 15,21,27,33,...)
            p=next(ps)               #    (5)
            q=p*p                    #    (25)
        for m in s:                  # the next multiple 
            if m not in sieve:       # no duplicates
                 break
         sieve[m] = s                # original test entry: ideone.com/WFv4f

稍微努力，这可以用来弹出无方形整数，使用postponed_sieve（）作为尽可能少的方格筛分的基础：

def squarefree():                   # modified sieve of Will Ness
    yield 1; yield 2; yield 3;      # original code David Eppstein,
    sieve = {}                      # Alex Martelli, ActiveState Recipe 2002
    ps = postponed_sieve()          # a base Primes Supply:
    p = next(ps)                    # (2) 
    q = p*p                         # (4)
    for c in count(4):              # the Candidate
        if c in sieve:              # c's a multiple of some base square
            s = sieve.pop(c)        #     i.e. not square-free ; or
        elif c < q:  
            yield c                 # square-free
            continue              
        else:   # (c==q):           # or the next base prime's square:
            s=count(2*q,q)          #    (4+4, by 4 : 8,12,16,20...)
            p=next(ps)              #    (3)
            q=p*p                   #    (9)
        for m in s:                 # the next multiple 
            if m not in sieve:      # no duplicates
                break
        sieve[m] = s

这很快，在我的笔记本电脑上推出了大约.8秒的第一百万。

不出所料，这表明这实际上与筛选质数相同，但密度更大。

Answer 5

您应该查看sieve of Atkin。当然，这会消除所有非素数（不仅仅是完美的正方形），因此它可能比你需要的更多。

Answer 6

谷歌搜索了一下我发现这个page解释了J程序。算法是复杂语法的一部分，它允许检查数字是否是无方形的：

生成一个完美的方形PS列表，
取你的数字N除以列表中的数字PS
如果列表中只有1个整数，然后N是无方形的

您可以使用首选语言实现该算法，并在1到n之间的任何数字上进行迭代。

Answer 7

http://www.marmet.org/louis/sqfgap/

查看“基本算法：Eratosthenes的筛子”部分，这是Armen建议的。下一节是“算法的改进”。

此外，FWIW，Moebius函数和无平方数都是相关的。

Answer 8

我找到了一种更好的算法来计算区间内有多少平方自由数，例如[n，m]。我们可以得到小于sqrt(m)的素数，然后我们应该减去那些素数平方的倍数，然后加上每两个素数乘以小于m的倍数，然后减去树，然后加上四......最后我们会得到答案。当然它运行在O(sqrt(m))。

Answer 9

import math
def squarefree(n):
    t=round(math.sqrt(n))
    if n<2:
       return True
    if t*t==n:
       return False
    if t<=2:
       return True
    for i in range(2,t):
        if n%(i*i)==0:
           return False
        else:
           return True

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9 个答案: