Question

我有以下代码：

public static void main(String[] args) {
    int a = 3;
    int b = 7;

    int x = b; // x=b
    int res = a; // res = a
    int y = 1;

    int invariant = 0;

    System.out.println("a|b|x|y|res|invariant");
    while (x > 0) { 
        if (x % 2 == 0) {
            y = 2 * y;
            x = x / 2;  
        } else {
            res = res + y;
            y = 2 * y;
            x = (x - 1) / 2;
        }
        invariant = y + 2;
        String output = String.format("%d|%d|%d|%d|%d|%d", a,b,x,y,res,invariant);
        System.out.println(output);
    }
    // < res = a + b >
}

哪个给出以下输出：

a|b|x|y|res|invariant
3|7|3|2|4|4
3|7|1|4|6|6
3|7|0|8|10|10

但是，如果我更改数字，则不变性不再等于res。因此，我对此问题的循环不变性是不正确的。

我一直在努力寻找正确的循环不变性，如果有人可以给我提示，我将非常高兴。

查看代码和结果后，我的第一印象是循环不变性基于a和b进行更改。假设a和b都是奇数，就像我的例子一样，那么我的Loop不变量是正确的（至少看起来像这样）

假设像下面这样的循环变量是正确的吗？

< res = y - 2 && a % 2 != 0 && b % 2 != 0 >

我确实使用了不同的数字，并且似乎在每次更改它们时，都会有不同的循环不变性，我很难找到任何模式。

如果有人能给我提示或解决方法的一般想法，我将不胜感激。

谢谢

Answer 1

此循环计算总和a+b。 res初始化为a。然后，在循环的每次迭代中，将b的二进制表示形式的下一位（从最低有效位开始）添加到res，直到循环结束且res保持不变a+b。

工作方式：

x初始化为b。在每次迭代中，您将消除最低有效位。如果该位是0，则只需将x除以2。如果是1，则减去1并除以2（实际上，除以{ {1}}，因为当x为奇数2时(x-1)/2==x/2。仅当遇到int位时，才需要将其添加（乘以1的正确幂）。 2拥有y的正确能力。

在您的a = 3，b = 7的示例中，b的二进制表示为111

在第一次迭代中，res的值为a + 1（二进制）== a + 1 = 4
在第二次迭代中，res的值为a + 11（二进制）== a + 3 = 6
在最后一次迭代中，res的值为a + 111（二进制）== a + 7 == 10

您可以将不变式写为：

这利用了这样一个事实，即在第invariant = a + (b & (y - 1));次迭代结束时（i从i开始，1持有y，因此2^i是一个数字，其二进制表示形式是y - 1 == 2^i - 1 1位（即i和11...11位）。当您用i &来编号时，将得到b的{{1}}个最低有效位。

努力找到正确的循环不变式

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