袋子里的令牌

Question

我们有n个令牌。每个令牌都是红色，蓝色或绿色。这n个令牌放在袋子里

重复以下操作，直到袋子空了：

1）如果袋子中有两个以上的令牌。从袋子中取出两个随机令牌。否则，清空袋子。

2）根据步骤1）中获得的两个标记，我们执行以下操作：

*情况1：如果其中一个标记为红色，则不执行任何操作。

*情况2：如果两个令牌都是绿色的，我们放回一个绿色令牌和两个蓝色令牌 放在袋子里。

*情况3：如果我们得到一个蓝色令牌，而另一个令牌不是红色，则放入3 红色令牌放回包里。

假设我们总是有足够的令牌可以放回包中，通过归纳证明此过程始终会终止。

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因此，对于我的基本情况，我将n = 1放进去，由于我们的令牌少于2个，所以我们只需要清空包装袋，过程就会终止。

我不知道从那里去哪里。

这是我在笔记本上写下的内容，只是在思考问题：

R =红色，B =蓝色，G =绿色

如果我们取出RR，我们什么也不做，现在袋子中就包含了n = n-2个令牌

如果我们取出RB，我们什么也不做，现在袋子中就包含了n = n-2个令牌

如果我们取出RG，我们什么也不会做，而且袋子现在包含n = n-2个令牌

如果我们取出BB，我们将3个红色令牌放回去，现在袋子中就包含+1个令牌（因为我们取出2个并加了3个）

如果我们取出BG，请执行上述操作

如果我们取出GG，则返回1个绿色和2个蓝色，现在袋子中包含+1个令牌

我想我可以看到的是，最终，袋子会装满或几乎装满红色令牌，因为只有一种情况我们放回令牌而不是红色，而第二种情况我们放回3红色令牌。每当我们拿出红色令牌时，我们什么都不做，只是缩小袋子中令牌的大小，直到袋子空了。

绿色令牌的数量将相对于蓝色和红色令牌的数量减少。我们要拉红色或蓝色的令牌，而不是绿色。

我不确定如何通过归纳证明这一点。任何帮助将不胜感激

编辑：谢谢，我想我知道了

Answer 1

这是一个提示。而不是用红色，蓝色和绿色来考虑便士，角钱和宿舍。通过对包装袋中物品的价值进行归纳总结。

Answer 2

您有以下三个规则：

1. 如果其中一个标记为红色，则不执行任何操作。
2. 如果两个令牌都是绿色的，我们将一个绿色令牌和两个蓝色令牌放回包中。
3. 如果我们得到一个蓝色令牌，而另一个令牌不是红色，则将3个红色令牌放回包中。

从那里去：

1. 假设您的书包中有两个绿色令牌。你拉他们两个。一个绿色令牌返回。绿色令牌的数量减少1。在最坏的情况下，每取出两个令牌，就会在袋子中放入一个绿色令牌。您将总是用完绿色令牌。
2. 每当您拉GG时，都会在袋子中添加两个蓝色标记。但第1点指出，您总是会用光绿色，因此您将无法添加更多蓝色。之后，每当您拉出一个蓝色令牌时，它就不会出现在袋子中。
3. 除非您拉出BG或BB，否则您拉出的每个红色标记都会停留在外。但是第二点说，你会用尽蓝色，这时再也没有红色可以进入袋子了。

您必须通过归纳将其写成正式证明，但这是基本方法。

Answer 3

通过证明袋子中绿色令牌的数量来证明。 基本情况：当袋子中最初没有绿色标记时，袋子中将永远没有绿色标记，因为没有规则会添加任何绿色标记。在这种情况下，没有规则会添加蓝色标记，并且在强制删除所有无法替换的蓝色标记之前，我们只能删除有限数量的红色标记。然后，必须删除所有红色标记。

归纳假设：对于所有初始配置（最多包含k个绿色令牌），该过程最终终止。

归纳步骤：我们必须显示具有k + 1个绿色标记的所有初始配置的过程停止。第一次抽奖有6种情况： 1.红色/红色-红色被删除，我们仍然处于相同的k + 1绿色状态。在必须遇到另一种情况之前，这只能有限地发生多次。 2.红色/绿色-红色和绿色已删除，现在我们剩下k个绿色令牌；从归纳假设我们知道过程从这一点终止。 3.红色/蓝色-红色和蓝色被删除，我们保持在相同的k + 1绿色状态。在必须遇到另一种情况之前，这只能有限地发生多次。 4.绿色/绿色-去除两个绿色，得到k-1的情况。通过归纳假设，我们知道过程从这一点终止。 5.绿色/蓝色-移除了一个绿色，因此我们现在处于k个绿色状态。我们知道该过程从这一点终止于假设。 6.蓝色/蓝色-删除了两个蓝色。这只能在遇到另一种情况之前有限地发生多次。

至关重要的是：情况1、3和6无法形成闭环，因为这些都没有添加蓝色标记。因此，这些情况作为一个整体只能在必须遇到其他情况之一之前发生有限次。由于情况2、4和5提供了一个配置，该处理通过归纳假设而终止，因此所有带有k + 1个绿色令牌的起始配置都必须终止。

注意：如果袋中有R红色，G绿色和B蓝色标记，那么在最坏的情况下可以保证要绘制绿色才能进行几次绘制？最坏的情况是先绘制B / 2双蓝直到用尽，再产生1.5B额外的红色标记，然后绘制（R + 1.5B）/ 2对红色标记直到用尽，总计（R + 2.5B）/ 2开这意味着您必须最终绘制果岭，无论袋装是初始还是其他方式，都必须永久减少可绘制的果岭数量。由于绿色令牌的数量是有限的，非负的并且是递减的，因此该过程必须终止。