Question

这是对this question的跟进。多亏了Kwartz，我现在有了一个命题状态，如果b除以a，然后b除以* c表示任意整数c，即：

alsoDividesMultiples : (a, b, c : Integer) ->
                       DivisibleBy a b ->
                       DivisibleBy (a * c) b

现在，目标是证明这一说法。我意识到我不了解如何对依赖对进行操作。我尝试了一个更简单的问题，该问题表明每个数字都可以被1整除。经过可耻的思考，我想到了我想出了一个解决方案：

-- All numbers are divisible by 1.
DivisibleBy a 1 = let n = a in
  (n : Integer ** a = 1 * n)

这可以编译，但是我怀疑它是否有效。为了确认我错了，将其略微更改为：

-- All numbers are divisible by 1.
DivisibleBy a 1 = let n = a in
  (n : Integer ** a = 2 * n)

这也会编译，这意味着我的“英语”解释肯定是不正确的，因为我会将其解释为“所有数字都可以被一个整数整除，因为每个数字都是另一个整数的两倍”。因此，我不能完全确定我要用那句话说明什么。因此，我回过头来尝试了一种更常规的方式来说明问题：

oneDividesAll : (a : Integer) ->
                (DivisibleBy a 1)
oneDividesAll a = ?sorry

对于oneDividesAll的实现，我不太确定如何“注入” (n = a)的事实。例如，我将这种证明写成（英文）：

我们希望证明1 |一种。如果是这样，则a = 1 * n会持续大约n。让n = a，然后a = a * 1，根据身份，这是正确的。

我不确定该如何说：“考虑n = a的时间”。据我了解，rewrite策略需要证明n = a。

我试图改编我的谬论：

oneDividesAll : (a : Integer) ->
                (DivisibleBy a 1)
oneDividesAll a = let n = a in (n : Integer ** a = b * n)

但这给出了：

   |
12 | oneDividesAll a = let n = a in (n : Integer ** a = b * n)
   |                   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
When checking right hand side of oneDividesAll with expected type
        DivisibleBy a 1

Type mismatch between
        Type (Type of DPair a P)
and
        (n : Integer ** a = prim__mulBigInt 1 n) (Expected type)

任何帮助/提示将不胜感激。

Answer 1

首先，如果要证明数字的性质，则应使用Nat（或其他归纳类型）。 Integer使用的原语中，参数不能比prim__mulBigInt : Integer -> Integer -> Integer争论得更远；您传递两个Integer来获得一个。编译器不知道任何内容，结果Integer的样子如何，因此它无法证明其内容。

所以我将继续使用Nat：

DivisibleBy : Nat -> Nat -> Type
DivisibleBy a b = (n : Nat ** a = b * n)

同样，这是一个命题，而不是证明。 DivisibleBy 6 0是有效类型，但找不到proof : Divisible 6 0。所以你说对了

oneDividesAll : (a : Nat) ->
                (DivisibleBy a 1)
oneDividesAll a = ?sorry

这样，您可以生成oneDividesAll a : DivisibleBy a 1形式的证明。那么，?sorry漏洞是什么？ :t sorry给了我们sorry : (n : Nat ** a = plus n 0)（在DivisibleBy a 1看来，依德里斯可以解决）。您对这对的右侧感到困惑：x = y是一种类型，但是现在我们需要一个值-这是您最后一次错误隐式错误消息提示所基于的内容。 =只有一个构造函数Refl : x = x。因此，我们需要使相等的两边都具有相同的值，因此结果看起来像(n ** Refl)。

如您所想，我们需要将n设置为a：

oneDividesAll a = (a ** ?hole)

对于所需的重写策略，我们签出:search plus a 0 = a，并查看plusZeroRightNeutral的类型正确。

oneDividesAll a = (a ** rewrite plusZeroRightNeutral a in ?hole)

现在:t hole给了我们hole : a = a，所以我们可以自动完成到Refl：

oneDividesAll a = (a ** rewrite plusZeroRightNeutral a in Refl)

Idris Doc中有一个很好的定理证明教程（其中还解释了为什么plus a Z不减少）。

您如何在证明中对依赖对进行操作？

1 个答案: